Regra de Cramer
(Regra de Cramer.) Se \(\det A\neq0\), a única solução de \(AX=b\) é dada por \[x_j = \frac{\det A^{(j)}}{\det A},\] onde \(A^{(j)}\) é a matriz \(A\) com a \(j\)-ésima coluna substituída por \(b\).
Para \(n=2\) ou \(3\) a regra é útil; para \(n=5\) é muito mais lenta que escalonar. O valor dela é teórico: ela exibe a solução como função racional dos coeficientes, o que é usado, por exemplo, para mostrar que a solução depende continuamente dos dados.
Demonstração
\(X = A^{-1}b = \frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)\,b\), cuja \(j\)-ésima entrada é \(\frac{1}{\det A}\sum_i(-1)^{i+j}\det(A_{ij})\,b_i\). Essa soma é o desenvolvimento de Laplace, pela coluna \(j\), do determinante da matriz que tem \(b\) na coluna \(j\) e as demais colunas de \(A\) — isto é, \(\det A^{(j)}\).
Em movimento: Cramer's rule, explained geometrically — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{cor-cramer}
\cardtipo{corolario}
\cardtitulo{Regra de Cramer}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{thm-formula-do-determinante, def-sist}
\cardrequerdem{thm-matriz-adjunta, thm-laplace}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{(Regra de Cramer.) Se $\det A\neq0$, a única
solução de $AX=b$ é dada por}
\[x_j = \frac{\det A^{(j)}}{\det A},\]
\emph{onde $A^{(j)}$ é a matriz $A$ com a $j$-ésima coluna substituída por $b$.}
\noindent Para $n=2$ ou $3$ a regra é útil; para $n=5$ é muito mais lenta que escalonar. O valor dela
é \emph{teórico}: ela exibe a solução como função \emph{racional} dos coeficientes, o que é
usado, por exemplo, para mostrar que a solução depende continuamente dos dados.
\begin{demonstracao}
$X = A^{-1}b = \frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)\,b$, cuja $j$-ésima entrada é
$\frac{1}{\det A}\sum_i(-1)^{i+j}\det(A_{ij})\,b_i$. Essa soma é o desenvolvimento de
Laplace, pela coluna $j$, do determinante da matriz que tem $b$ na coluna $j$ e as demais
colunas de $A$ --- isto é, $\det A^{(j)}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}