Determinante com \(1\) no canto
Se \(M\in\mathcal{M}_{(n-1)\times(n-1)}(\R)\) e \(b\in\R^{n-1}\), então \[\det\begin{pmatrix}1 & b^t\\ 0 & M\end{pmatrix} = \det M.\]
Demonstração
Somando à \(j\)-ésima coluna o múltiplo adequado da primeira (que é \(e_1\)), zeramos \(b\) sem alterar o determinante. Ficamos com a matriz que tem \(1\) no canto, zeros na primeira linha e na primeira coluna, e \(M\) no resto. Na fórmula de Leibniz dessa matriz, uma parcela não nula exige \(\sigma(1) = 1\); as demais escolhas formam exatamente as permutações do bloco \(M\), com o mesmo sinal. Logo o determinante é \(\det M\).
lem-canto · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{lem-canto}
\cardtipo{lema}
\cardtitulo{Determinante com $1$ no canto}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{thm-formula-do-determinante}
\cardrequerdem{prop-opcol}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Se $M\in\mathcal{M}_{(n-1)\times(n-1)}(\R)$ e
$b\in\R^{n-1}$, então}
\[\det\begin{pmatrix}1 & b^t\\ 0 & M\end{pmatrix} = \det M.\]
\begin{demonstracao}
Somando à $j$-ésima coluna o múltiplo adequado da primeira (que é $e_1$), zeramos $b$ sem
alterar o determinante. Ficamos com a matriz que tem $1$ no canto, zeros na primeira linha e
na primeira coluna, e $M$ no resto. Na fórmula de Leibniz dessa matriz, uma parcela não nula
exige $\sigma(1) = 1$; as demais escolhas formam exatamente as permutações do bloco $M$,
com o mesmo sinal. Logo o determinante é $\det M$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}