Existência e unicidade da adjunta
Sejam \(V\) e \(W\) com produto interno, de dimensão finita, e \(T:V\to W\) linear. Existe uma única \(T^\dagger:W\to V\) linear com \[\langle T(v),w\rangle_W = \langle v,T^\dagger(w)\rangle_V\qquad\text{para todos } v\in V,\ w\in W.\]
A adjunta e a transposta. A transposta (embaixo) existe sempre e anda entre duais. A adjunta (em cima) exige produtos internos e anda entre os próprios espaços; ela é a única seta de cima que faz o quadrado comutar.
Demonstração
Fixe \(w\). A função \(v\mapsto\langle T(v),w\rangle_W\) é um funcional em \(V\) (é \(T^*(G_W(w))\), com \(T^*\) a transposta, Definição 5.15). Pelo Teorema 6.34, existe um único vetor — chame-o \(T^\dagger(w)\) — com \(\langle T(v),w\rangle = \langle v,T^\dagger(w)\rangle\) para todo \(v\). Em fórmula: \(T^\dagger = G_V^{-1}\circ T^*\circ G_W\), que é linear por ser composta de lineares.
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\cardid{thm-existencia-da-adjunta}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{Existência e unicidade da adjunta}
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\cardrequer{def-pi, def-dim, def-tl}
\cardrequerdem{thm-riesz, def-transp}
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\begin{cartao}
\emph{Sejam $V$ e $W$ com produto
interno, de dimensão finita, e $T:V\to W$ linear. Existe uma única $T^\dagger:W\to V$ linear
com}
\[\langle T(v),w\rangle_W = \langle v,T^\dagger(w)\rangle_V\qquad\text{para todos } v\in V,\ w\in W.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (W) at (0,1.8) {$W$};
\node[cx] (V) at (4.2,1.8) {$V$};
\node[cx] (Ws) at (0,0) {$W^*$};
\node[cx] (Vs) at (4.2,0) {$V^*$};
\draw[fseta,Frosa] (W)--(V) node[midway,above,cxs] {$T^\dagger$ (adjunta)};
\draw[fseta] (Ws)--(Vs) node[midway,below,cxs] {$T^*$ (transposta)};
\draw[fseta,Fverde] (W)--(Ws) node[midway,left,cxs] {$G_W$};
\draw[fseta,Fverde] (V)--(Vs) node[midway,right,cxs] {$G_V$};
\node[cxs,Fcinza] at (2.1,0.9) {comuta};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (5.4,0.9)
{$G_V\circ T^\dagger = T^*\circ G_W$\\[0.3em] \emph{a adjunta é a transposta}\\
\emph{lida através dos produtos internos}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A adjunta e a transposta. A transposta (embaixo) existe sempre e anda
entre duais. A adjunta (em cima) exige produtos internos e anda entre os próprios espaços; ela
é a única seta de cima que faz o quadrado comutar.\par}
\begin{demonstracao}
Fixe $w$. A função $v\mapsto\langle T(v),w\rangle_W$ é um funcional em $V$ (é $T^*(G_W(w))$,
com $T^*$ a transposta, \vejacard{def-transp}). Pelo \vejacard{thm-riesz}, existe um único vetor ---
chame-o $T^\dagger(w)$ --- com $\langle T(v),w\rangle = \langle v,T^\dagger(w)\rangle$ para todo
$v$. Em fórmula: $T^\dagger = G_V^{-1}\circ T^*\circ G_W$, que é linear por ser composta de
lineares.
\end{demonstracao}
\end{cartao}