Dimensões diferentes: \(T\) não é injetora, ou não é sobrejetora
Seja \(T:V\to W\) linear, com \(V\) e \(W\) de dimensão finita.
Se \(\dim V>\dim W\), então \(T\) não é injetora.
Se \(\dim V<\dim W\), então \(T\) não é sobrejetora.
Demonstração
(a) \(\dim \Nuc(T) = \dim V-\dim\Ima(T)\geq\dim V-\dim W>0\). (b) \(\dim\Ima(T)\leq\dim V<\dim W\), logo \(\Ima(T)\neq W\) pelo Corolário 2.82.
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\cardtitulo{Dimensões diferentes: $T$ não é injetora, ou não é sobrejetora}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $T:V\to W$ linear, com $V$ e $W$ de dimensão finita.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{Se $\dim V>\dim W$, então $T$ não é injetora.}
\item \emph{Se $\dim V<\dim W$, então $T$ não é sobrejetora.}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a) $\dim \Nuc(T) = \dim V-\dim\Ima(T)\geq\dim V-\dim W>0$.
(b) $\dim\Ima(T)\leq\dim V<\dim W$, logo $\Ima(T)\neq W$ pelo \vejacard{cor-sub}.
\end{demonstracao}
\end{cartao}