Os funcionais separam pontos
Se \(v\in V\) e \(\varphi(v) = 0\) para todo \(\varphi\in V^*\), então \(v = 0\).
Demonstração
Se \(v\neq0\), complete \((v)\) a uma base \((v,v_2,\ldots,v_n)\) de \(V\) (Teorema 2.79). O primeiro funcional da base dual vale \(1\) em \(v\).
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\begin{cartao}
Se $v\in V$ e $\varphi(v) = 0$ para todo $\varphi\in V^*$, então $v = 0$.
\begin{demonstracao}
Se $v\neq0$, complete $(v)$ a uma base $(v,v_2,\ldots,v_n)$ de $V$ (\vejacard{thm-compl}). O primeiro
funcional da base dual vale $1$ em $v$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}