\(V = S\oplus S^\perp\)
Seja \(V\) de dimensão finita com produto interno e \(S\) um subespaço. Então \(S^\perp\) é subespaço, \[V = S\oplus S^\perp,\qquad \dim S^\perp = \dim V-\dim S,\qquad (S^\perp)^\perp = S.\]
Uma reta \(S\) e o plano \(S^\perp\) em \(\R^3\). Todo vetor se decompõe de modo único em uma parte em \(S\) e uma parte perpendicular a \(S\). Dentre os muitos complementares de \(S\) (Corolário 2.83), o produto interno escolhe este.
Demonstração
\(S^\perp\) é subespaço pela linearidade na primeira variável. Interseção: se \(v\in S\cap S^\perp\), então \(\langle v,v\rangle = 0\) e \(v = 0\). Soma: seja \((u_1,\ldots,u_k)\) base ortonormal de \(S\), completada a uma base ortonormal \((u_1,\ldots,u_n)\) de \(V\) (Corolário 6.18). Os vetores \(u_{k+1},\ldots,u_n\) são ortogonais a \(u_1,\ldots,u_k\), logo a \(S\): estão em \(S^\perp\). Então \(V = [u_1,\ldots,u_n] \subset S+S^\perp\). Isso dá \(V = S\oplus S^\perp\) e a fórmula da dimensão (Corolário 2.86). Duplo perp: \(S\subset(S^\perp)^\perp\) pela definição, e as dimensões são iguais: \(n-(n-k) = k\).
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\cardtitulo{$V = S\oplus S^\perp$}
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\cardrequer{def-perp, def-direta, def-dim}
\cardrequerdem{cor-existe, cor-direta}
\cardveja{cor-complementar, mot-produto-interno}
\begin{cartao}
\emph{Seja $V$ de dimensão finita
com produto interno e $S$ um subespaço. Então $S^\perp$ é subespaço,}
\[V = S\oplus S^\perp,\qquad \dim S^\perp = \dim V-\dim S,\qquad (S^\perp)^\perp = S.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
x={(-0.5cm,-0.4cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}]
\fill[Flaranja!12] (-1.4,-1.6,0)--(1.8,-1.6,0)--(1.8,2.6,0)--(-1.4,2.6,0)--cycle;
\draw[Flaranja!60,line width=0.5pt] (-1.4,-1.6,0)--(1.8,-1.6,0)--(1.8,2.6,0)--(-1.4,2.6,0)--cycle;
\draw[Fazul,line width=1.5pt] (0,0,-1.4)--(0,0,2.3);
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (0,0,2.3) {$S$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=north west] at (1.8,2.6,0) {$S^\perp$};
\draw[vet,black] (0,0,0)--(1.0,1.8,1.5);
\node[cxs,anchor=south west] at (1.0,1.8,1.5) {$v$};
\draw[vet,Fazul] (0,0,0)--(0,0,1.5);
\draw[vet,Flaranja] (0,0,0)--(1.0,1.8,0);
\draw[tr] (1.0,1.8,0)--(1.0,1.8,1.5)--(0,0,1.5);
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0,0,1.0) {$s$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (1.0,1.8,0) {$s'$};
\fill[black] (0,0,0) circle (1.4pt);
\node[cx,anchor=west,align=left] at (0,3.3,0.3) {$v = s+s'$,\\ $s\in S$, \ $s'\in S^\perp$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Uma reta $S$ e o plano $S^\perp$ em $\R^3$. Todo vetor se decompõe de
modo único em uma parte em $S$ e uma parte perpendicular a $S$. Dentre os muitos complementares
de $S$ (\vejacard{cor-complementar}), o produto interno escolhe este.\par}
\begin{demonstracao}
$S^\perp$ é subespaço pela linearidade na primeira variável. \emph{Interseção:} se
$v\in S\cap S^\perp$, então $\langle v,v\rangle = 0$ e $v = 0$. \emph{Soma:} seja
$(u_1,\ldots,u_k)$ base ortonormal de $S$, completada a uma base ortonormal
$(u_1,\ldots,u_n)$ de $V$ (\vejacard{cor-existe}). Os vetores $u_{k+1},\ldots,u_n$ são
ortogonais a $u_1,\ldots,u_k$, logo a $S$: estão em $S^\perp$. Então $V = [u_1,\ldots,u_n]
\subset S+S^\perp$. Isso dá $V = S\oplus S^\perp$ e a fórmula da dimensão (\vejacard{cor-direta}).
\emph{Duplo perp:} $S\subset(S^\perp)^\perp$ pela definição, e as dimensões são iguais:
$n-(n-k) = k$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}