Redução de uma cônica ou quádrica: rotação e translação
Rotação. Diagonalize \(A = QDQ^t\) com \(Q\) ortogonal, \(\det Q = 1\). Nas coordenadas \(y = Q^tx\) (isto é, \(x = Qy\)), a equação fica \[\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2+b'^ty+c = 0,\qquad b' = Q^tb.\] Os termos cruzados desapareceram. Os novos eixos são as direções dos autovetores.
Translação. Para cada \(\lambda_i\neq0\), complete o quadrado: \(\lambda_iy_i^2+b'_iy_i = \lambda_i\big(y_i+\frac{b'_i}{2\lambda_i}\big)^2-\frac{b_i'^2}{4\lambda_i}\). Os termos lineares restantes são os das variáveis com \(\lambda_i = 0\).
Leitura. A forma reduzida diz o tipo; os semi-eixos são \(\sqrt{k/\lambda_i}\) quando a equação reduzida é \(\sum\lambda_iz_i^2 = k\) com \(k/\lambda_i>0\).
No passo 1 pode-se tomar \(\det Q = 1\) (trocando o sinal de uma coluna), de modo que \(Q\) é uma rotação. A ordem importa: primeiro girar, depois transladar. Completar quadrados antes de girar não funciona quando há termo \(xy\), e a rotação não mexe na constante nem cria termos cruzados. A translação muda o centro; a rotação muda os eixos. Os dois juntos são um movimento rígido: a curva não se deforma, e os semi-eixos lidos na forma reduzida são os verdadeiros.
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\begin{cartao}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=1.8em,itemsep=0.3em]
\item \emph{Rotação.} Diagonalize $A = QDQ^t$ com $Q$ ortogonal, $\det Q = 1$. Nas coordenadas
$y = Q^tx$ (isto é, $x = Qy$), a equação fica
\[\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2+b'^ty+c = 0,\qquad b' = Q^tb.\]
Os termos cruzados desapareceram. Os novos eixos são as direções dos autovetores.
\item \emph{Translação.} Para cada $\lambda_i\neq0$, complete o quadrado:
$\lambda_iy_i^2+b'_iy_i = \lambda_i\big(y_i+\frac{b'_i}{2\lambda_i}\big)^2-\frac{b_i'^2}{4\lambda_i}$.
Os termos lineares restantes são os das variáveis com $\lambda_i = 0$.
\item \emph{Leitura.} A forma reduzida diz o tipo; os semi-eixos são $\sqrt{k/\lambda_i}$ quando
a equação reduzida é $\sum\lambda_iz_i^2 = k$ com $k/\lambda_i>0$.
\end{enumerate}
\noindent No passo 1 pode-se tomar $\det Q = 1$ (trocando o sinal de uma coluna), de modo que
$Q$ é uma rotação. A ordem importa: \emph{primeiro girar, depois transladar}. Completar
quadrados antes de girar
não funciona quando há termo $xy$, e a rotação não mexe na constante nem cria termos
cruzados. A translação muda o centro; a rotação muda os eixos. Os dois juntos são um movimento
rígido: a curva não se deforma, e os semi-eixos lidos na forma reduzida são os verdadeiros.
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