Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados
Seja \(q(x) = x^tAx\) em \(\R^n\), com autovalores \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) de \(A\).
(Redução ortogonal.) Existe \(Q\) ortogonal com \(q(Qy) = \lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\).
(Redução de Sylvester.) Existe \(P\) invertível com \(q(Pz) = z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+m}^2\), onde \(p\) e \(m\) são os números de autovalores positivos e negativos.
Demonstração
(a) Pelo Teorema 9.5, \(A = QDQ^t\); então \(q(Qy) = y^tQ^tAQy = y^tDy\). (b) Ordene os autovalores com os positivos primeiro, depois os negativos, depois os nulos, e ponha \(y_i = z_i/\sqrt{|\lambda_i|}\) quando \(\lambda_i\neq0\) e \(y_i = z_i\) quando \(\lambda_i = 0\). Isto é, \(P = Q\,\mathrm{diag}(c_i)\) com \(c_i = 1/\sqrt{|\lambda_i|}\) ou \(1\).
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\cardtitulo{Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $q(x) = x^tAx$ em
$\R^n$, com autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ de $A$.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{(Redução ortogonal.) Existe $Q$ ortogonal com $q(Qy) =
\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$.}
\item \emph{(Redução de Sylvester.) Existe $P$ invertível com $q(Pz) =
z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+m}^2$, onde $p$ e $m$ são os números de autovalores
positivos e negativos.}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a) Pelo \vejacard{thm-espectral}, $A = QDQ^t$; então $q(Qy) = y^tQ^tAQy = y^tDy$. (b) Ordene os autovalores
com os positivos primeiro, depois os negativos, depois os nulos, e ponha
$y_i = z_i/\sqrt{|\lambda_i|}$ quando $\lambda_i\neq0$ e $y_i = z_i$ quando $\lambda_i = 0$. Isto é,
$P = Q\,\mathrm{diag}(c_i)$ com $c_i = 1/\sqrt{|\lambda_i|}$ ou $1$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}