Quociente de Rayleigh: o maior e o menor autovalor
Seja \(T\) auto-adjunto com autovalores \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n\). Então \[\lambda_1 = \max_{\|v\| = 1}\langle Tv,v\rangle,\qquad \lambda_n = \min_{\|v\| = 1}\langle Tv,v\rangle,\] e os pontos de máximo (mínimo) são exatamente os autovetores unitários de \(\lambda_1\) (\(\lambda_n\)).
As curvas de nível \(q = c\) de \(q(v) = \langle Av,v\rangle\) são elipses com eixos nos autovetores. A maior que ainda toca o círculo unitário o toca na direção de \(V_3\), onde \(q = 3\); a menor que o toca, na direção de \(V_1\). Nos pontos de contato, o círculo e a elipse são tangentes — e isso é a equação \(Av = \lambda v\).
Demonstração
Numa base ortonormal de autovetores, \(v = \sum_ix_iu_i\) com \(\sum_ix_i^2 = 1\), e \[\langle Tv,v\rangle = \sum_i\lambda_ix_i^2\leq\lambda_1\sum_ix_i^2 = \lambda_1,\] com igualdade se e somente se \(\sum_i(\lambda_1-\lambda_i)x_i^2 = 0\), isto é, \(x_i = 0\) sempre que \(\lambda_i<\lambda_1\): \(v\in V_{\lambda_1}\). O mínimo é igual.
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\cardtitulo{Quociente de Rayleigh: o maior e o menor autovalor}
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\cardrequer{thm-espectral}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $T$ auto-adjunto com autovalores
$\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$. Então}
\[\lambda_1 = \max_{\|v\| = 1}\langle Tv,v\rangle,\qquad
\lambda_n = \min_{\|v\| = 1}\langle Tv,v\rangle,\]
\emph{e os pontos de máximo (mínimo) são exatamente os autovetores unitários de $\lambda_1$
($\lambda_n$).}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3,every node/.style={scale=0.95}]
\draw[eixo] (-1.8,0)--(1.9,0);
\draw[eixo] (0,-1.5)--(0,1.6);
\draw[Fcinza,line width=0.8pt] (0,0) circle (1);
\foreach \cc/\cor in {1.5/Fazul!40,2.2/Fazul!60,2.8/Fazul!85}{
\draw[\cor,line width=0.7pt,rotate=45] (0,0) ellipse ({sqrt(\cc/3)} and {sqrt(\cc/1)});}
\draw[Frosa,line width=0.7pt,dashed,rotate=45] (0,0) ellipse ({sqrt(3/3)} and {sqrt(3)});
\draw[Flaranja,line width=0.7pt,dashed,rotate=45] (0,0) ellipse ({sqrt(1/3)} and {sqrt(1)});
\draw[Fverde,line width=1.2pt] (-1.5,-1.5)--(1.5,1.5);
\fill[Frosa] (0.7071,0.7071) circle (1.8pt);
\fill[Frosa] (-0.7071,-0.7071) circle (1.8pt);
\node[cxs,Frosa,anchor=south east,fill=white,inner sep=1pt] at (0.62,0.8) {máx $=3$};
\fill[Flaranja] (0.7071,-0.7071) circle (1.8pt);
\node[cxs,Flaranja,anchor=north west,fill=white,inner sep=1pt] at (0.8,-0.75) {mín $=1$};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (2.2,0.2)
{$A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, \ $q(v) = \langle Av,v\rangle$\\[0.3em]
\emph{curvas de nível de $q$: elipses;}\\
\emph{no círculo, $q$ é máxima e mínima}\\ \emph{nas direções dos autovetores}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape As curvas de nível $q = c$ de $q(v) = \langle Av,v\rangle$ são elipses com
eixos nos autovetores. A maior que ainda toca o círculo unitário o toca na direção de $V_3$, onde
$q = 3$; a menor que o toca, na direção de $V_1$. Nos pontos de contato, o círculo e a elipse são
tangentes --- e isso é a equação $Av = \lambda v$.\par}
\begin{demonstracao}
Numa base ortonormal de autovetores, $v = \sum_ix_iu_i$ com $\sum_ix_i^2 = 1$, e
\[\langle Tv,v\rangle = \sum_i\lambda_ix_i^2\leq\lambda_1\sum_ix_i^2 = \lambda_1,\]
com igualdade se e somente se $\sum_i(\lambda_1-\lambda_i)x_i^2 = 0$, isto é, $x_i = 0$ sempre
que $\lambda_i<\lambda_1$: $v\in V_{\lambda_1}$. O mínimo é igual.
\end{demonstracao}
\end{cartao}