Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas

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\cardid{prop-simult}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas}
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\cardrequer{prop-posdef, def-congr}
\cardrequerdem{thm-espectral}
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\begin{cartao}

\emph{Sejam $A,B$
simétricas com $B$ positiva definida. Existe $P$ invertível com $P^tBP = I$ e $P^tAP$ diagonal;
os elementos diagonais são as raízes de $\det(A-\lambda B) = 0$.}

\noindent Em mecânica, com $B$ a energia cinética e $A$ a potencial de um sistema de massas e
molas, as raízes de $\det(A-\lambda B) = 0$ são os quadrados das frequências dos modos normais.
É um produto interno ($B$) e uma forma ($A$) diagonalizados juntos.

\begin{demonstracao}

Pela \vejacard{prop-posdef}, $P_1^tBP_1 = I$ para alguma $P_1$. A matriz $P_1^tAP_1$ é
simétrica: $P_1^tAP_1 = QDQ^t$ (\vejacard{thm-espectral}). Com $P = P_1Q$: $P^tBP = Q^tQ = I$ e $P^tAP = D$. E
$\det(A-\lambda B) = \det\big((P^t)^{-1}(D-\lambda I)P^{-1}\big) = \det(D-\lambda I)/(\det P)^2$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}