Mudança entre bases ortonormais: matrizes ortogonais
Sejam \(B\) e \(B'\) bases ortonormais de \(V\) e \(Q = [I]_{BB'}\). Então \(Q^tQ = I\), isto é, \(Q^{-1} = Q^t\).
Uma matriz com \(Q^tQ = I\) chama-se ortogonal. Suas colunas são uma base ortonormal de \(\R^n\). As rotações de \(\R^2\) são o exemplo principal.
Demonstração
A coluna \(j\) de \(Q\) é \([u'_j]_B\). Pela Proposição 6.15, o produto escalar das colunas \(i\) e \(j\) é \(\langle u'_i,u'_j\rangle = \delta_{ij}\), que é a entrada \((i,j)\) de \(Q^tQ\).
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\begin{cartao}
\emph{Sejam $B$ e $B'$ bases ortonormais de $V$ e
$Q = [I]_{BB'}$. Então $Q^tQ = I$, isto é, $Q^{-1} = Q^t$.}
\noindent Uma matriz com $Q^tQ = I$ chama-se \textbf{ortogonal}. Suas colunas são uma base
ortonormal de $\R^n$. As rotações de $\R^2$ são o exemplo principal.
\begin{demonstracao}
A coluna $j$ de $Q$ é $[u'_j]_B$. Pela \vejacard{prop-coord}, o produto escalar das
colunas $i$ e $j$ é $\langle u'_i,u'_j\rangle = \delta_{ij}$, que é a entrada $(i,j)$ de
$Q^tQ$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}