Completar dois vetores a uma base de \(\R^3\)

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\cardtitulo{Completar dois vetores a uma base de $\R^3$}
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\cardautor{}

\cardrequer{thm-compl, cor-complementar}
\cardrequerdem{}
\cardveja{def-perp}

\begin{cartao}

Completar $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (0,1,1)$ a uma base de $\R^3$. Eles são
LI. Basta achar um vetor fora do plano $[v_1,v_2]$: como
$[v_1,v_2] = \{(x,y,z): x-y+z = 0\}$, o vetor $e_1 = (1,0,0)$ serve, pois $1\neq0$. Logo
$\big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,0)\big)$ é base de $\R^3$, e
$S' = [(1,0,0)]$ é um complementar do plano.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
 \fill[Fazul!12] (-2.9,-0.55)--(1.3,-1.35)--(2.9,0.55)--(-1.3,1.35)--cycle;
 \draw[Fazul,line width=0.9pt]
   (-2.9,-0.55)--(1.3,-1.35)--(2.9,0.55)--(-1.3,1.35)--cycle;
 \node[cxs,Fazul,anchor=north east] at (-1.5,-0.75) {$S$ (plano)};
 \draw[Flaranja,line width=0.9pt,dashed] (0,0)--(-1.5,-1.45);
 \draw[Flaranja,line width=1.2pt] (0,0)--(1.5,1.45);
 \node[cxs,Flaranja,anchor=south west] at (1.5,1.45) {$S'$};
 \draw[Frosa,line width=0.9pt,dashed] (0,0)--(1.5,-1.45);
 \draw[Frosa,line width=1.2pt] (0,0)--(-1.5,1.45);
 \node[cxs,Frosa,anchor=south east] at (-1.5,1.45) {$S''$};
 \draw[Fverde,line width=1pt,dotted] (0,0)--(0,1.75);
 \draw[Fverde,line width=0.8pt,dotted] (0,0)--(0,-1.75);
 \node[cxs,Fverde,anchor=south] at (0,1.78) {$S^\perp$};
 \fill[black] (0,0) circle (2pt);
 \node[cxs,anchor=north east] at (-0.06,-0.04) {$0$};
 \node[cxs,anchor=west,align=left] at (3.4,0.55)
   {$V = S\oplus S'$\\[0.2em] $V = S\oplus S''$\\[0.2em] $V = S\oplus S^\perp$};
 \node[cxs,anchor=west,align=left,Fcinza] at (3.4,-0.9)
   {\emph{todos servem;}\\ \emph{só o último é único}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape Um subespaço tem muitos complementares. Qualquer reta fora do
plano serve, e o \vejacard{cor-complementar} produz uma delas --- a que sair do
completamento de base. O complemento \emph{ortogonal} $S^\perp$ (pontilhado) é apenas um
entre eles, e é único; mas ele exige um produto interno (\vejacard{def-perp}).\par}

\end{cartao}