Todas as bases têm o mesmo número de elementos
Se \(V\) admite uma base com \(n\) elementos e uma base com \(m\) elementos, então \(n = m\).
Demonstração
Sejam \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) e \(C = (w_1,\ldots,w_m)\) bases de \(V\). Aplique o Lema 2.53 duas vezes:
\(B\) gera \(V\) e \(C\) é LI \(\ \Longrightarrow\ m\leq n\);
\(C\) gera \(V\) e \(B\) é LI \(\ \Longrightarrow\ n\leq m\).
Logo \(n=m\).
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\cardtitulo{Todas as bases têm o mesmo número de elementos}
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\begin{cartao}
Se $V$ admite uma base com
$n$ elementos e uma base com $m$ elementos, então $n = m$.
\begin{demonstracao}
Sejam $B = (v_1,\ldots,v_n)$ e $C = (w_1,\ldots,w_m)$ bases de $V$. Aplique o \vejacard{lem-troca} duas
vezes:
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.15em,topsep=0.25em]
\item $B$ gera $V$ e $C$ é LI $\ \Longrightarrow\ m\leq n$;
\item $C$ gera $V$ e $B$ é LI $\ \Longrightarrow\ n\leq m$.
\end{itemize}
Logo $n=m$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}