Existência de base ortonormal
Todo espaço com produto interno de dimensão finita tem base ortonormal, e toda lista ortonormal se completa a uma base ortonormal.
Demonstração
Aplique o teorema a uma base. Para a segunda afirmação, complete a lista ortonormal \((u_1,\ldots,u_k)\) a uma base qualquer (Teorema 2.79) e aplique o teorema: os \(k\) primeiros vetores não mudam, porque já são ortonormais.
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\begin{cartao}
\emph{Todo espaço com produto interno de dimensão finita tem
base ortonormal, e toda lista ortonormal se completa a uma base ortonormal.}
\begin{demonstracao}
Aplique o teorema a uma base. Para a segunda afirmação, complete a lista ortonormal
$(u_1,\ldots,u_k)$ a uma base qualquer (\vejacard{thm-compl}) e aplique o teorema: os $k$ primeiros vetores
não mudam, porque já são ortonormais.
\end{demonstracao}
\end{cartao}