Todo subespaço tem complementar
Todo subespaço \(S\) de um espaço \(V\) de dimensão finita admite complementar: existe \(S'\subset V\) com \(V = S\oplus S'\).
Demonstração
Tome uma base \((u_1,\ldots,u_k)\) de \(S\) e complete-a a uma base \((u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r)\) de \(V\) (Teorema 2.79). Ponha \(S' = [w_1,\ldots,w_r]\). Então \(S+S' = V\), porque a base toda está em \(S\cup S'\). E \(S\cap S' = \{0\}\): se \(v\in S\cap S'\), escrevemos \(v = \sum_ia_iu_i\) e \(v = \sum_jb_jw_j\), donde \(\sum_ia_iu_i-\sum_jb_jw_j = 0\); como a base toda é LI, todos os coeficientes são nulos e \(v=0\).
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\begin{cartao}
Todo subespaço $S$ de um espaço $V$ de dimensão finita admite
complementar: existe $S'\subset V$ com $V = S\oplus S'$.
\begin{demonstracao}
Tome uma base $(u_1,\ldots,u_k)$ de $S$ e complete-a a uma base
$(u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r)$ de $V$ (\vejacard{thm-compl}). Ponha $S' = [w_1,\ldots,w_r]$.
Então $S+S' = V$, porque a base toda está em $S\cup S'$. E $S\cap S' = \{0\}$: se
$v\in S\cap S'$, escrevemos $v = \sum_ia_iu_i$ e $v = \sum_jb_jw_j$, donde
$\sum_ia_iu_i-\sum_jb_jw_j = 0$; como a base toda é LI, todos os coeficientes são nulos e
$v=0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}