Dimensão do anulador
Seja \(S\) subespaço de \(V\), \(\dim V = n\) e \(\dim S = k\). Então \(S^0\) é subespaço de \(V^*\) e \(\dim S^0 = n-k\). Mais precisamente: se \((v_1,\ldots,v_k)\) é base de \(S\) e \((v_1,\ldots,v_n)\) é uma base de \(V\) que a completa, então \((v_{k+1}^*,\ldots,v_n^*)\) é base de \(S^0\).
Demonstração
\(S^0\) é subespaço: se \(\varphi,\psi\) se anulam em \(S\), \(\varphi+\lambda\psi\) também. Para \(j>k\), \(v_j^*\) se anula em \(v_1,\ldots,v_k\), logo em \(S\): \(v_j^*\in S^0\). Os \(v_j^*\) são LI (são parte de uma base). Geram \(S^0\): se \(\varphi\in S^0\), então \[\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^* = \sum_{i=k+1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*,\] porque \(\varphi(v_i) = 0\) para \(i\leq k\).
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\begin{cartao}
Seja $S$ subespaço de $V$, $\dim V = n$ e
$\dim S = k$. Então $S^0$ é subespaço de $V^*$ e $\dim S^0 = n-k$. Mais precisamente: se
$(v_1,\ldots,v_k)$ é base de $S$ e $(v_1,\ldots,v_n)$ é uma base de $V$ que a completa,
então $(v_{k+1}^*,\ldots,v_n^*)$ é base de $S^0$.
\begin{demonstracao}
$S^0$ é subespaço: se $\varphi,\psi$ se anulam em $S$, $\varphi+\lambda\psi$ também. Para
$j>k$, $v_j^*$ se anula em $v_1,\ldots,v_k$, logo em $S$: $v_j^*\in S^0$. Os $v_j^*$ são LI
(são parte de uma base). Geram $S^0$: se $\varphi\in S^0$, então
\[\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^* = \sum_{i=k+1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*,\]
porque $\varphi(v_i) = 0$ para $i\leq k$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}