Coordenadas numa base ortonormal
Seja \((u_1,\ldots,u_n)\) base ortonormal de \(V\). Então, para todos \(v,w\in V\), \[v = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\,u_i\qquad\text{e}\qquad \langle v,w\rangle = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\langle w,u_i\rangle.\] Isto é: as coordenadas são produtos internos, e numa base ortonormal o produto interno de \(V\) vira o produto escalar das coordenadas.
Compare com o Teorema 5.9: lá, as coordenadas eram os funcionais da base dual, \(v_i^*(v)\), e calculá-los exigia inverter uma matriz (Proposição 5.11). Aqui \(v_i^* = \langle\cdot,u_i\rangle\), e o cálculo é um produto interno. É a primeira aparição do isomorfismo \(V\iso V^*\) dado pelo produto interno (Teorema 6.34).
Demonstração
Escreva \(v = \sum_ja_ju_j\) e faça o produto interno com \(u_i\): \(\langle v,u_i\rangle = a_i\). A segunda fórmula sai expandindo \(\langle\sum_ia_iu_i,\sum_jb_ju_j\rangle\) por bilinearidade.
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\cardtitulo{Coordenadas numa base ortonormal}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $(u_1,\ldots,u_n)$ base ortonormal de $V$.
Então, para todos $v,w\in V$,}
\[v = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\,u_i\qquad\text{e}\qquad
\langle v,w\rangle = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\langle w,u_i\rangle.\]
\emph{Isto é: as coordenadas são produtos internos, e numa base ortonormal o produto interno
de $V$ vira o produto escalar das coordenadas.}
\noindent Compare com o \vejacard{thm-basedual}: lá, as coordenadas eram os funcionais da base
dual, $v_i^*(v)$, e calculá-los exigia inverter uma matriz (\vejacard{prop-calc}). Aqui
$v_i^* = \langle\cdot,u_i\rangle$, e o cálculo é
um produto interno. É a primeira aparição do isomorfismo $V\iso V^*$ dado pelo produto
interno (\vejacard{thm-riesz}).
\begin{demonstracao}
Escreva $v = \sum_ja_ju_j$ e faça o produto interno com $u_i$: $\langle v,u_i\rangle = a_i$. A
segunda fórmula sai expandindo $\langle\sum_ia_iu_i,\sum_jb_ju_j\rangle$ por bilinearidade.
\end{demonstracao}
\end{cartao}