A matriz da adjunta em bases ortonormais
Sejam \(B\) e \(C\) bases ortonormais de \(V\) e \(W\). Então \([T^\dagger]_{BC} = \big([T]_{CB}\big)^t\). Para bases quaisquer, isso é falso.
Demonstração
Se \(B = (v_j)\) e \(C = (w_i)\) são ortonormais, a entrada \((i,j)\) de \([T]_{CB}\) é \(\langle T(v_j),w_i\rangle\) (Proposição 6.15), e a entrada \((j,i)\) de \([T^\dagger]_{BC}\) é \(\langle T^\dagger(w_i),v_j\rangle = \langle v_j,T^\dagger(w_i)\rangle = \langle T(v_j),w_i\rangle\).
Contra-exemplo com base não ortonormal: em \(\R^2\) com \(\langle x,y\rangle_G = x^tGy\), \(G = \mathrm{diag}(1,2)\), a adjunta de \(X\mapsto AX\) é \(X\mapsto G^{-1}A^tG\,X\) (verifique: \((AX)^tGY = X^tG(G^{-1}A^tGY)\)). Para \(A = \left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix} \right)\) isso dá \(\left(\begin{smallmatrix}0&0\\1/2&0\end{smallmatrix}\right)\neq A^t\). A base canônica não é ortonormal para \(\langle\cdot,\cdot\rangle_G\).
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\cardtitulo{A matriz da adjunta em bases ortonormais}
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\cardrequer{thm-existencia-da-adjunta, def-on, def-matriz}
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\begin{cartao}
Sejam $B$ e $C$ bases ortonormais de $V$ e $W$.
Então $[T^\dagger]_{BC} = \big([T]_{CB}\big)^t$. Para bases quaisquer, isso é falso.
\begin{demonstracao}
Se $B = (v_j)$ e $C = (w_i)$ são ortonormais, a entrada $(i,j)$ de $[T]_{CB}$ é
$\langle T(v_j),w_i\rangle$ (\vejacard{prop-coord}), e a entrada $(j,i)$ de $[T^\dagger]_{BC}$ é
$\langle T^\dagger(w_i),v_j\rangle = \langle v_j,T^\dagger(w_i)\rangle = \langle T(v_j),w_i\rangle$.
Contra-exemplo com base não ortonormal: em $\R^2$ com $\langle x,y\rangle_G = x^tGy$,
$G = \mathrm{diag}(1,2)$, a adjunta de $X\mapsto AX$ é $X\mapsto G^{-1}A^tG\,X$ (verifique:
$(AX)^tGY = X^tG(G^{-1}A^tGY)$). Para $A = \left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}
\right)$ isso dá $\left(\begin{smallmatrix}0&0\\1/2&0\end{smallmatrix}\right)\neq A^t$. A base
canônica não é ortonormal para $\langle\cdot,\cdot\rangle_G$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}