Matrizes simétricas e antissimétricas são ortogonais
Em \(\Mat{n}{n}\) com \(\langle A,B\rangle = \tr(A^tB)\), simétricas e antissimétricas são ortogonais: se \(S^t = S\) e \(A^t = -A\), \[\langle S,A\rangle = \tr(SA) = \tr\big((SA)^t\big) = \tr(A^tS^t) = -\tr(AS) = -\tr(SA),\] logo \(\langle S,A\rangle = 0\). Como \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28) e as dimensões somam \(n^2\), \(\Simet^\perp = \mathcal{A}\): essa decomposição é ortogonal.
ex-perp-b · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{ex-perp-b}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{Matrizes simétricas e antissimétricas são ortogonais}
\cardtags{exemplos}
\cardautor{}
\cardrequer{thm-perp, ex-produto-interno-de-matrizes, ex-diretas-b, ex-dims-b}
\cardrequerdem{}
\cardveja{}
\begin{cartao}
Em $\Mat{n}{n}$ com $\langle A,B\rangle = \tr(A^tB)$,
simétricas e antissimétricas são ortogonais: se $S^t = S$ e $A^t = -A$,
\[\langle S,A\rangle = \tr(SA) = \tr\big((SA)^t\big) = \tr(A^tS^t) = -\tr(AS) = -\tr(SA),\]
logo $\langle S,A\rangle = 0$. Como $\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}$ (\vejacard{ex-diretas-b}) e as dimensões
somam $n^2$, $\Simet^\perp = \mathcal{A}$: essa decomposição é ortogonal.
\end{cartao}