Núcleo e imagem da adjunta
\(N(T^\dagger) = \Ima(T)^\perp\) e \(\Ima(T^\dagger) = \Nuc(T)^\perp\). Portanto \(V = \Nuc(T)\oplus\Ima(T^\dagger)\) e \(W = \Ima(T)\oplus N(T^\dagger)\), somas ortogonais.
Os quatro subespaços, agora com \(\perp\) (compare com a figura do Teorema 5.33, que usa \(^0\) e os duais). \(V\) se parte ortogonalmente em núcleo e imagem da adjunta, \(W\) em imagem e núcleo da adjunta; \(T\) esmaga o núcleo e leva o complemento ortogonal dele bijetivamente sobre a imagem.
A figura é a do Teorema 2.92, com uma diferença: lá o complementar do núcleo era um qualquer; aqui ele é o ortogonal, e é a imagem de \(T^\dagger\). Com a Proposição 6.36, isto é “posto por linhas \(=\) posto por colunas” (Corolário 5.34) outra vez: \(\Ima(T_A^\dagger)\) é o espaço das linhas de \(A\).
Demonstração
\(w\in N(T^\dagger)\iff\langle v,T^\dagger w\rangle = 0\ \forall v\iff\langle Tv,w\rangle = 0\ \forall v\iff w\in\Ima(T)^\perp\). Pela simetria da definição, \((T^\dagger)^\dagger = T\); aplicando a primeira igualdade a \(T^\dagger\), obtemos \(\Nuc(T) = \Ima(T^\dagger)^\perp\), e tomando o complemento ortogonal dos dois lados (Teorema 6.22), \(\Nuc(T)^\perp = \Ima(T^\dagger)\).
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\cardtitulo{Núcleo e imagem da adjunta}
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\cardrequer{thm-existencia-da-adjunta, def-perp}
\cardrequerdem{thm-perp}
\cardveja{thm-quatro, thm-nucimg, cor-posto-linhas-igual-colunas}
\begin{cartao}
\emph{$N(T^\dagger) = \Ima(T)^\perp$ e
$\Ima(T^\dagger) = \Nuc(T)^\perp$. Portanto $V = \Nuc(T)\oplus\Ima(T^\dagger)$ e
$W = \Ima(T)\oplus N(T^\dagger)$, somas ortogonais.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
cxa/.style={draw,line width=0.8pt,align=center,font=\scriptsize,inner sep=3pt}]
\node[cxa,fill=Fazul!12,minimum width=26mm,minimum height=13mm] (IV) at (0,0.8) {$\Ima(T^\dagger) = \Nuc(T)^\perp$};
\node[cxa,fill=Fverde!14,minimum width=26mm,minimum height=10mm] (NV) at (0,-0.7) {$\Nuc(T)$};
\node[cx] at (0,-1.7) {$V$};
\node[cxa,fill=Fazul!12,minimum width=26mm,minimum height=13mm] (IW) at (6.2,0.8) {$\Ima(T) = N(T^\dagger)^\perp$};
\node[cxa,fill=Fverde!14,minimum width=26mm,minimum height=10mm] (NW) at (6.2,-0.7) {$N(T^\dagger)$};
\node[cx] at (6.2,-1.7) {$W$};
\draw[fseta] (1.45,1.05)--(4.75,1.05) node[midway,above,cxs] {$T$: bijeção};
\draw[fseta,Frosa] (4.75,0.55)--(1.45,0.55) node[midway,below,cxs] {$T^\dagger$: bijeção};
\fill[black] (5.25,0.35) circle (1.6pt);
\node[cxs,anchor=west] at (5.3,0.35) {$0$};
\draw[fseta,Fcinza] (1.45,-0.7) .. controls (3.0,-1.3) .. (5.18,0.3);
\node[cxs,Fcinza,anchor=north] at (3.0,-1.15) {$T(\Nuc(T)) = 0$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Os quatro subespaços, agora com $\perp$ (compare com a figura
do \vejacard{thm-quatro}, que usa $^0$ e os duais). $V$ se parte ortogonalmente em núcleo e
imagem da adjunta, $W$ em imagem e núcleo da adjunta; $T$ esmaga o núcleo e leva o
complemento ortogonal dele bijetivamente sobre a imagem.\par}
\noindent A figura é a do \vejacard{thm-nucimg}, com uma
diferença: lá o complementar do núcleo era um qualquer; aqui ele é o ortogonal, e é a imagem
de $T^\dagger$. Com a \vejacard{prop-adjmat}, isto é ``posto por linhas $=$ posto por colunas''
(\vejacard{cor-posto-linhas-igual-colunas}) outra vez: $\Ima(T_A^\dagger)$
é o espaço das linhas de $A$.
\begin{demonstracao}
$w\in N(T^\dagger)\iff\langle v,T^\dagger w\rangle = 0\ \forall v\iff\langle Tv,w\rangle = 0\
\forall v\iff w\in\Ima(T)^\perp$. Pela simetria da definição, $(T^\dagger)^\dagger = T$;
aplicando a primeira igualdade a $T^\dagger$, obtemos $\Nuc(T) = \Ima(T^\dagger)^\perp$, e
tomando o complemento ortogonal dos dois lados (\vejacard{thm-perp}), $\Nuc(T)^\perp = \Ima(T^\dagger)$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}