Dimensão do produto; soma direta interna e externa
Se \(\dim V = n\) e \(\dim W = m\), então \(\dim(V\times W) = n+m\). Além disso, se \(V = S_1\oplus S_2\), a aplicação \[\Phi: S_1\times S_2\longrightarrow V,\qquad \Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2,\] é um isomorfismo.
As duas somas diretas. À esquerda, a externa: dois espaços quaisquer, postos lado a lado. À direita, a interna: dois subespaços de um mesmo \(V\), com interseção nula; a seta é \(\Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2\). A proposição diz que, quando a interna existe, as duas são a mesma coisa a menos de isomorfismo — e é por isso que se usa o mesmo símbolo \(\oplus\) para as duas.
Demonstração
Se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) e \((w_1,\ldots,w_m)\) é base de \(W\), então \[\big((v_1,0),\ldots,(v_n,0),\ (0,w_1),\ldots,(0,w_m)\big)\] gera \(V\times W\) (pois \((v,w) = (v,0)+(0,w)\)) e é LI (uma combinação nula obriga cada coordenada a se anular). Logo a dimensão é \(n+m\).
Quanto a \(\Phi\): ela é linear, e é sobrejetora porque \(V = S_1+S_2\). É injetora porque \(s_1+s_2 = 0\) com \(s_i\in S_i\) obriga \(s_1 = -s_2\in S_1\cap S_2 = \{0\}\).
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\cardtitulo{Dimensão do produto; soma direta interna e externa}
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\cardrequer{def-prod, def-dim, def-direta, def-iso}
\cardrequerdem{prop-direta, prop-basicas}
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\begin{cartao}
\emph{Se $\dim V = n$ e $\dim W = m$, então
$\dim(V\times W) = n+m$. Além disso, se $V = S_1\oplus S_2$, a aplicação}
\[\Phi: S_1\times S_2\longrightarrow V,\qquad \Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2,\]
\emph{é um isomorfismo.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\draw[line width=0.9pt,rounded corners=6pt] (-0.3,-0.4) rectangle (2.3,1.0);
\node[cx] at (1.0,0.3) {$S_1$};
\draw[line width=0.9pt,rounded corners=6pt] (2.9,-0.4) rectangle (5.5,1.0);
\node[cx] at (4.2,0.3) {$S_2$};
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (2.6,-0.65)
{\textbf{externo:} $S_1\times S_2$\\ pares $(s_1,s_2)$, lado a lado};
\end{scope}
\draw[fseta,Fverde] (6.1,0.3)--(7.5,0.3);
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (6.8,0.4) {$\Phi$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (6.8,0.2) {$(s_1,s_2)\mapsto s_1+s_2$};
\begin{scope}[shift={(8.1,0)}]
\draw[line width=0.9pt,rounded corners=6pt] (-0.3,-0.9) rectangle (4.3,1.5);
\node[cx,anchor=north east] at (4.2,1.4) {$V$};
\draw[Fazul,line width=1.2pt] (0.3,-0.4)--(3.1,0.9);
\node[cxs,Fazul,anchor=west] at (3.15,0.92) {$S_1$};
\draw[Frosa,line width=1.2pt] (0.5,1.1)--(2.7,-0.6);
\node[cxs,Frosa,anchor=north] at (2.75,-0.62) {$S_2$};
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (2.0,-1.15)
{\textbf{interno:} $V = S_1\oplus S_2$\\ dois subespaços \emph{dentro} de $V$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape As duas somas diretas. À esquerda, a \emph{externa}: dois espaços
quaisquer, postos lado a lado. À direita, a \emph{interna}: dois subespaços de um mesmo $V$,
com interseção nula; a seta é $\Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2$. A
proposição diz que, quando a interna existe, as duas
são a mesma coisa a menos de isomorfismo --- e é por isso que se usa o mesmo símbolo
$\oplus$ para as duas.\par}
\begin{demonstracao}
Se $(v_1,\ldots,v_n)$ é base de $V$ e $(w_1,\ldots,w_m)$ é base de $W$, então
\[\big((v_1,0),\ldots,(v_n,0),\ (0,w_1),\ldots,(0,w_m)\big)\]
gera $V\times W$ (pois $(v,w) = (v,0)+(0,w)$) e é LI (uma combinação nula obriga cada
coordenada a se anular). Logo a dimensão é $n+m$.
Quanto a $\Phi$: ela é linear, e é sobrejetora porque $V = S_1+S_2$. É injetora porque
$s_1+s_2 = 0$ com $s_i\in S_i$ obriga $s_1 = -s_2\in S_1\cap S_2 = \{0\}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}