A matriz de Gram de três vetores de \(\R^3\)
Para \((1,1,0)\), \((0,1,1)\), \((1,0,1)\) em \(\R^3\): \[\Gamma = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad \det\Gamma = 4 = 2^2,\] e \(2\) é o determinante da matriz \(P\) do Exemplo 3.17, cujas colunas são esses vetores. Pela Nota 4.15, \(|\det P| = 2\) é o volume do paralelepípedo que eles geram: \(\sqrt{\det\Gamma}\) é esse volume, calculado só com produtos internos.
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\cardtitulo{A matriz de Gram de três vetores de $\R^3$}
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\begin{cartao}
Para $(1,1,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$
em $\R^3$:
\[\Gamma = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad \det\Gamma = 4 = 2^2,\]
e $2$ é o determinante da matriz $P$ do \vejacard{ex-p2}, cujas colunas são esses vetores. Pela \vejacard{nota-volume},
$|\det P| = 2$ é o volume do paralelepípedo que eles geram: $\sqrt{\det\Gamma}$ é esse
volume, calculado só com produtos internos.
\end{cartao}