De todo gerador finito extrai-se uma base
Todo espaço vetorial \(V\neq\{0\}\) gerado por um conjunto finito possui base. Mais precisamente: de todo conjunto gerador finito pode-se extrair uma base.
A demonstração é um algoritmo: ela não só garante a existência como diz como achar a base. Isso é usado toda vez que um subespaço vem dado por geradores.
Demonstração
Seja \(G = \{u_1,\ldots,u_m\}\) com \([G] = V\). Se \(G\) é LI, ele já é base e acabou. Se não é, pela Proposição 2.46 algum \(u_j\) é combinação linear dos demais; e, pelo Lema 2.42, retirar de um gerador um vetor que é combinação dos outros não altera o subespaço gerado, logo \(G\setminus\{u_j\}\) ainda gera \(V\).
Repetimos o procedimento. Ele termina, porque a cada passo o conjunto perde um elemento e começamos com um número finito deles. E ele não pode chegar ao conjunto vazio, porque \([\,\emptyset\,] = \{0\}\neq V\). O conjunto que sobra gera \(V\) e é LI: é base.
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\begin{cartao}
Todo espaço vetorial $V\neq\{0\}$ gerado por um conjunto finito
possui base. Mais precisamente: de todo conjunto gerador finito pode-se extrair uma base.
\noindent A demonstração é um \emph{algoritmo}: ela não só garante a existência como diz como
achar a base. Isso é usado toda vez que um subespaço vem dado por geradores.
\begin{demonstracao}
Seja $G = \{u_1,\ldots,u_m\}$ com $[G] = V$. Se $G$ é LI, ele já é base e acabou. Se não é,
pela \vejacard{prop-ld} algum $u_j$ é combinação linear dos demais; e, pelo \vejacard{lem-sobra},
retirar de um gerador um vetor que é combinação dos outros não altera o subespaço gerado, logo
$G\setminus\{u_j\}$ ainda gera $V$.
Repetimos o procedimento. Ele termina, porque a cada passo o conjunto perde um elemento e
começamos com um número finito deles. E ele não pode chegar ao conjunto vazio, porque
$[\,\emptyset\,] = \{0\}\neq V$. O conjunto que sobra gera $V$ e é LI: é base.
\end{demonstracao}
\end{cartao}