\((S^0)^0 = S\)
Identificando \(V\) com \(V^{**}\) via \(\mathrm{ev}\), vale \((S^0)^0 = S\) para todo subespaço \(S\). Em termos de equações: um vetor que satisfaz todas as equações lineares satisfeitas por \(S\) está em \(S\).
Demonstração
\((S^0)^0\subset V^{**}\), e \(\mathrm{ev}(S)\subset(S^0)^0\): se \(s\in S\) e \(\varphi\in S^0\), então \(\mathrm{ev}(s)(\varphi) = \varphi(s) = 0\). As dimensões: \(\dim(S^0)^0 = n-(n-k) = k = \dim\mathrm{ev}(S)\).
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\cardtitulo{$(S^0)^0 = S$}
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\cardrequer{thm-ev, def-anul}
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\begin{cartao}
\emph{Identificando $V$ com $V^{**}$ via $\mathrm{ev}$, vale
$(S^0)^0 = S$ para todo subespaço $S$. Em termos de equações: um vetor que satisfaz todas as
equações lineares satisfeitas por $S$ está em $S$.}
\begin{demonstracao}
$(S^0)^0\subset V^{**}$, e $\mathrm{ev}(S)\subset(S^0)^0$: se $s\in S$ e $\varphi\in S^0$,
então $\mathrm{ev}(s)(\varphi) = \varphi(s) = 0$. As dimensões: $\dim(S^0)^0 =
n-(n-k) = k = \dim\mathrm{ev}(S)$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}