Desigualdade de Cauchy–Schwarz
Para todos \(u,v\in V\), \[|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\,\|v\|,\] com igualdade se e somente se \(u\) e \(v\) são linearmente dependentes.
A demonstração usual (o discriminante do polinômio \(t\mapsto\|u+tv\|^2\)) é igualmente curta. A escolhida aqui tem a vantagem de introduzir a decomposição \(v = p+w\) da figura, que é o passo de Gram–Schmidt (Teorema 6.17) e o caso unidimensional da projeção ortogonal (Definição 6.26).
Demonstração
Se \(u = 0\), os dois lados são nulos e \(u,v\) são LD. Suponha \(u\neq0\) e escreva \[v = \underbrace{\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u}_{p}+\underbrace{\Big(v-\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u\Big)}_{w}.\] Então \(\langle w,u\rangle = \langle v,u\rangle-\langle v,u\rangle = 0\), logo \(w\perp p\), e por Pitágoras \[\|v\|^2 = \|p\|^2+\|w\|^2\geq\|p\|^2 = \frac{\langle v,u\rangle^2}{\|u\|^2}.\] Multiplicando por \(\|u\|^2\) e tirando a raiz obtém-se a desigualdade. A igualdade vale se e somente se \(w = 0\), isto é, \(v\) é múltiplo de \(u\).
A componente de \(v\) na direção de \(u\). O vetor \(p\) é a “sombra” de \(v\) sobre a reta de \(u\), e o que sobra, \(w\), é perpendicular a \(u\). Cauchy–Schwarz diz que a sombra não é mais comprida que o vetor; Gram–Schmidt consiste em ficar com \(w\) e jogar \(p\) fora.
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{thm-cs}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{Desigualdade de Cauchy--Schwarz}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-pi, def-li}
\cardrequerdem{prop-pit}
\cardveja{thm-gs, def-proj}
\begin{cartao}
\emph{Para
todos $u,v\in V$,}
\[|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\,\|v\|,\]
\emph{com igualdade se e somente se $u$ e $v$ são linearmente dependentes.}
\begin{demonstracao}
Se $u = 0$, os dois lados são nulos e $u,v$ são LD. Suponha $u\neq0$ e escreva
\[v = \underbrace{\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u}_{p}+\underbrace{\Big(v-\frac{\langle
v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u\Big)}_{w}.\]
Então $\langle w,u\rangle = \langle v,u\rangle-\langle v,u\rangle = 0$, logo $w\perp p$, e
por Pitágoras
\[\|v\|^2 = \|p\|^2+\|w\|^2\geq\|p\|^2 = \frac{\langle v,u\rangle^2}{\|u\|^2}.\]
Multiplicando por $\|u\|^2$ e tirando a raiz obtém-se a desigualdade. A igualdade vale se e
somente se $w = 0$, isto é, $v$ é múltiplo de $u$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1,every node/.style={scale=0.95}]
\draw[Fcinza!60,line width=0.6pt] (-0.6,-0.2)--(4.8,1.6);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(1.5,0.5);
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (0.9,0.25) {$u$};
\draw[vet,black] (0,0)--(2.2,2.3);
\node[cxs,anchor=south east] at (1.1,1.2) {$v$};
\draw[vet,Fverde] (0,0)--(2.67,0.89);
\node[cxs,Fverde,anchor=north west] at (2.3,0.75) {$p = \dfrac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u$};
\draw[vet,Frosa] (2.67,0.89)--(2.2,2.3);
\node[cxs,Frosa,anchor=west] at (2.55,1.7) {$w = v-p$};
\draw[Fcinza,line width=0.5pt] ({2.67-0.15*0.949},{0.89-0.15*0.316})
--++({0.15*-0.316},{0.15*0.949})--++({0.15*0.949},{0.15*0.316});
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A componente de $v$ na direção de $u$. O vetor $p$ é a ``sombra'' de
$v$ sobre a reta de $u$, e o que sobra, $w$, é perpendicular a $u$. Cauchy--Schwarz diz que a
sombra não é mais comprida que o vetor; Gram--Schmidt consiste em ficar com $w$ e jogar $p$
fora.\par}
\end{demonstracao}
\noindent A demonstração usual (o discriminante do polinômio $t\mapsto\|u+tv\|^2$) é igualmente
curta. A escolhida aqui tem a vantagem de introduzir a decomposição $v = p+w$ da figura, que
é o passo de Gram--Schmidt (\vejacard{thm-gs}) e o caso unidimensional da projeção
ortogonal (\vejacard{def-proj}).
\end{cartao}