Gram–Schmidt
Seja \((v_1,\ldots,v_n)\) uma lista LI em \(V\). Defina recursivamente \[w_1 = v_1,\qquad w_k = v_k-\sum_{j<k}\frac{\langle v_k,w_j\rangle}{\|w_j\|^2}\,w_j\quad(k\geq2).\] Então \((w_1,\ldots,w_n)\) é ortogonal, com \(w_k\neq0\), e \([w_1,\ldots,w_k] = [v_1,\ldots,v_k]\) para todo \(k\). Normalizando, \(u_k = w_k/\|w_k\|\) dá uma lista ortonormal com a mesma propriedade.
O terceiro passo de Gram–Schmidt. De \(v_3\) tira-se a sua componente no plano dos anteriores (verde), que é \(\sum_{j<3}\frac{\langle v_3,w_j\rangle}{\|w_j\|^2}w_j\); o que sobra, transportado para a origem, é \(w_3\) (rosa), perpendicular ao plano. Em cada passo o subespaço gerado cresce de uma dimensão e não muda de lugar.
A mudança de base \((v_i)\to(w_i)\) é triangular; daí sai a decomposição \(A = QR\).
Demonstração
Indução em \(k\). Para \(k=1\) é imediato (\(w_1 = v_1\neq0\)). Suponha que \(w_1,\ldots,w_{k-1}\) são ortogonais, não nulos, e \([w_1,\ldots,w_{k-1}] = [v_1,\ldots,v_{k-1}]\).
Ortogonalidade: para \(i<k\), usando \(\langle w_j,w_i\rangle = 0\) para \(j\neq i\), \[\langle w_k,w_i\rangle = \langle v_k,w_i\rangle-\frac{\langle v_k,w_i\rangle}{\|w_i\|^2}\, \|w_i\|^2 = 0.\] \(w_k\neq0\): se fosse, \(v_k\) estaria em \([w_1,\ldots,w_{k-1}] = [v_1,\ldots,v_{k-1}]\), contra a independência dos \(v\). Subespaços: \(w_k\in v_k+[w_1,\ldots,w_{k-1}]\), logo \([w_1,\ldots,w_k] = [w_1,\ldots,w_{k-1},v_k] = [v_1,\ldots,v_k]\).
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\cardtitulo{Gram--Schmidt}
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\cardrequer{def-on, def-li, def-gerado}
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\begin{cartao}
\emph{Seja
$(v_1,\ldots,v_n)$ uma lista LI em $V$. Defina recursivamente}
\[w_1 = v_1,\qquad w_k = v_k-\sum_{j<k}\frac{\langle v_k,w_j\rangle}{\|w_j\|^2}\,w_j\quad(k\geq2).\]
\emph{Então $(w_1,\ldots,w_n)$ é ortogonal, com $w_k\neq0$, e
$[w_1,\ldots,w_k] = [v_1,\ldots,v_k]$ para todo $k$. Normalizando, $u_k = w_k/\|w_k\|$ dá
uma lista ortonormal com a mesma propriedade.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
x={(-0.5cm,-0.4cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}]
\fill[Fazul!10] (-1.2,-0.8,0)--(2.2,-0.8,0)--(2.2,3.0,0)--(-1.2,3.0,0)--cycle;
\draw[Fazul!50,line width=0.5pt] (-1.2,-0.8,0)--(2.2,-0.8,0)--(2.2,3.0,0)--(-1.2,3.0,0)--cycle;
\node[cxs,Fazul,anchor=north east] at (2.2,-0.8,0) {$[w_1,w_2] = [v_1,v_2]$};
\draw[vet,Fazul] (0,0,0)--(1.6,0,0);
\draw[vet,Fazul] (0,0,0)--(0,1.4,0);
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (1.6,0,0) {$w_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (0,1.2,0) {$w_2$};
\draw[vet,black] (0,0,0)--(0.9,2.1,1.8);
\node[cxs,anchor=south] at (0.9,2.1,1.8) {$v_3$};
\draw[vet,Fverde] (0,0,0)--(0.9,2.1,0);
\node[cxs,Fverde,anchor=north west] at (0.9,2.1,0) {projeção de $v_3$};
\draw[vet,Frosa] (0,0,0)--(0,0,1.8);
\draw[tr] (0.9,2.1,0)--(0.9,2.1,1.8);
\node[cxs,Frosa,anchor=east] at (0,0,1.5) {$w_3$};
\fill[black] (0,0,0) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O terceiro passo de Gram--Schmidt. De $v_3$ tira-se a sua componente no
plano dos anteriores (verde), que é $\sum_{j<3}\frac{\langle v_3,w_j\rangle}{\|w_j\|^2}w_j$;
o que sobra, transportado para a origem, é $w_3$ (rosa), perpendicular ao plano. Em cada passo
o subespaço gerado cresce de uma dimensão e não muda de lugar.\par}
\noindent A mudança de base $(v_i)\to(w_i)$ é triangular; daí sai a decomposição $A = QR$.
\begin{demonstracao}
Indução em $k$. Para $k=1$ é imediato ($w_1 = v_1\neq0$). Suponha que $w_1,\ldots,w_{k-1}$
são ortogonais, não nulos, e $[w_1,\ldots,w_{k-1}] = [v_1,\ldots,v_{k-1}]$.
\emph{Ortogonalidade:} para $i<k$, usando $\langle w_j,w_i\rangle = 0$ para $j\neq i$,
\[\langle w_k,w_i\rangle = \langle v_k,w_i\rangle-\frac{\langle v_k,w_i\rangle}{\|w_i\|^2}\,
\|w_i\|^2 = 0.\]
\emph{$w_k\neq0$:} se fosse, $v_k$ estaria em $[w_1,\ldots,w_{k-1}] = [v_1,\ldots,v_{k-1}]$,
contra a independência dos $v$. \emph{Subespaços:} $w_k\in v_k+[w_1,\ldots,w_{k-1}]$, logo
$[w_1,\ldots,w_k] = [w_1,\ldots,w_{k-1},v_k] = [v_1,\ldots,v_k]$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}