Característica de Euler de um complexo
Seja \(0\to V_0\xrightarrow{f_0}V_1\xrightarrow{f_1}\cdots\xrightarrow{f_{n-1}}V_n\to0\) um complexo de espaços de dimensão finita. Então \[\sum_{i=0}^n(-1)^i\dim V_i = \sum_{i=0}^n(-1)^i\dim H^i.\] Em particular, se o complexo é exato, \(\sum_i(-1)^i\dim V_i = 0\).
Cada \(V_i\) se parte em três pedaços de dimensões \(r_{i-1}\), \(\dim H^i\) e \(r_i\). O pedaço azul de \(V_i\) tem a mesma dimensão que o verde de \(V_{i+1}\); na soma alternada eles entram com sinais opostos e se cancelam, e só sobram os cinzas. Num complexo exato não há cinza.
O nome vem da fórmula de Euler para poliedros, \(V-A+F = 2\).
Demonstração
Ponha \(r_i = \dim\Ima(f_i)\), com \(r_{-1} = r_n = 0\). Pelo Teorema 2.92, \(\dim V_i = \dim N(f_i)+r_i\); e pela Proposição 5.42, \(\dim N(f_i) = r_{i-1}+\dim H^i\). Logo \[\dim V_i = r_{i-1}+\dim H^i+r_i.\] Na soma alternada, cada \(r_i\) aparece duas vezes, com sinais \((-1)^i\) e \((-1)^{i+1}\), e se cancela.
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\cardrequer{def-coh, def-dim}
\cardrequerdem{thm-nucimg, prop-dimq}
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\begin{cartao}
\emph{Seja
$0\to V_0\xrightarrow{f_0}V_1\xrightarrow{f_1}\cdots\xrightarrow{f_{n-1}}V_n\to0$ um complexo
de espaços de dimensão finita. Então}
\[\sum_{i=0}^n(-1)^i\dim V_i = \sum_{i=0}^n(-1)^i\dim H^i.\]
\emph{Em particular, se o complexo é exato, $\sum_i(-1)^i\dim V_i = 0$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\foreach \ii/\xx in {0/0,1/3.2,2/6.4,3/9.6}{
\draw[line width=0.8pt] (\xx,0) rectangle ({\xx+2.2},0.55);
\node[cx] at ({\xx+1.1},-0.35) {$V_{\ii}$};}
\foreach \xx/\pa/\pb in {0/0/1.3,3.2/0.8/1.5,6.4/0.9/1.6,9.6/1.2/2.2}{
\fill[Fverde!20] ({\xx+0.03},0.03) rectangle ({\xx+\pa},0.52);
\fill[Fcinza!20] ({\xx+\pa},0.03) rectangle ({\xx+\pb},0.52);
\fill[Fazul!18] ({\xx+\pb},0.03) rectangle ({\xx+2.17},0.52);}
\foreach \xx/\ll in {0/{r_0},3.2/{r_1},6.4/{r_2}}{
\draw[fseta,Fazul] ({\xx+1.9},0.8) .. controls ({\xx+2.7},1.4) .. ({\xx+3.6},0.8);
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at ({\xx+2.7},1.25) {$\ll$};}
\node[cxs,Fcinza] at (0.65,0.28) {$H^0$};
\node[cxs,Fcinza] at (4.35,0.28) {$H^1$};
\node[cxs,Fcinza] at (7.65,0.28) {$H^2$};
\node[cxs,Fcinza] at (11.3,0.28) {$H^3$};
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (0,-1.1)
{\textcolor{Fverde}{verde}: imagem da seta que chega \quad
\textcolor{Fcinza}{cinza}: $H^i$ \quad
\textcolor{Fazul}{azul}: o que a seta seguinte leva injetivamente adiante};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Cada $V_i$ se parte em três pedaços de dimensões $r_{i-1}$,
$\dim H^i$ e $r_i$. O pedaço azul de $V_i$ tem a mesma dimensão que o verde de $V_{i+1}$; na
soma alternada eles entram com sinais opostos e se cancelam, e só sobram os cinzas. Num
complexo exato não há cinza.\par}
\begin{demonstracao}
Ponha $r_i = \dim\Ima(f_i)$, com $r_{-1} = r_n = 0$. Pelo \vejacard{thm-nucimg},
$\dim V_i = \dim N(f_i)+r_i$; e pela \vejacard{prop-dimq},
$\dim N(f_i) = r_{i-1}+\dim H^i$. Logo
\[\dim V_i = r_{i-1}+\dim H^i+r_i.\]
Na soma alternada, cada $r_i$ aparece duas vezes, com sinais $(-1)^i$ e $(-1)^{i+1}$, e se
cancela.
\end{demonstracao}
\noindent O nome vem da fórmula de Euler para poliedros, $V-A+F = 2$.
\end{cartao}