Formas positivas definidas: cinco caracterizações
Para \(A\) simétrica, são equivalentes: (a) \(q\) é positiva definida; (b) todos os autovalores de \(A\) são positivos; (c) a assinatura é \((n,0)\); (d) \(A = B^tB\) com \(B\) invertível; (e) \(\langle u,v\rangle_A = u^tAv\) é um produto interno.
Pelo item (e), todo produto interno em \(\R^n\) é \(u^tAv\) com \(A\) positiva definida, e Gram–Schmidt (Teorema 6.17) é, nessa linguagem, uma redução de Sylvester de \(A\) à identidade por uma \(P\) triangular.
Demonstração
(a)\(\iff\)(b): Proposição 9.6: \(\min_{\|x\|=1}q(x) = \lambda_{\min}\). (b)\(\iff\)(c): Corolário 9.22(a). (c)\(\Rightarrow\)(d): \(P^tAP = I\) dá \(A = (P^{-1})^tP^{-1}\). (d)\(\Rightarrow\)(a): \(x^tB^tBx = \|Bx\|^2>0\) se \(x\neq0\). (a)\(\iff\)(e): é a definição de produto interno (Definição 6.2), dada a bilinearidade e a simetria.
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\cardrequer{def-assin, def-pi}
\cardrequerdem{prop-rayleigh, cor-assin}
\cardveja{ex-produto-interno-nao-usual-em-r2, thm-gs}
\begin{cartao}
Para $A$ simétrica,
são equivalentes: (a) $q$ é positiva definida; (b) todos os autovalores de $A$ são positivos;
(c) a assinatura é $(n,0)$; (d) $A = B^tB$ com $B$ invertível; (e) $\langle u,v\rangle_A =
u^tAv$ é um produto interno.
\noindent Pelo item (e), \emph{todo} produto interno em $\R^n$
é $u^tAv$ com $A$ positiva definida, e Gram--Schmidt (\vejacard{thm-gs}) é, nessa linguagem,
uma redução de Sylvester de $A$ à identidade por uma $P$ triangular.
\begin{demonstracao}
(a)$\iff$(b): \vejacard{prop-rayleigh}: $\min_{\|x\|=1}q(x) = \lambda_{\min}$. (b)$\iff$(c):
\vejacard{cor-assin}(a). (c)$\Rightarrow$(d): $P^tAP = I$ dá $A = (P^{-1})^tP^{-1}$.
(d)$\Rightarrow$(a): $x^tB^tBx = \|Bx\|^2>0$ se $x\neq0$. (a)$\iff$(e): é a definição de produto
interno (\vejacard{def-pi}), dada a bilinearidade e a simetria.
\end{demonstracao}
\end{cartao}