Coordenadas numa base não canônica de \(\R^2\)

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\cardid{ex-bases-d}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{Coordenadas numa base não canônica de $\R^2$}
\cardtags{exemplos}
\cardautor{}

\cardrequer{def-coord}
\cardrequerdem{}
\cardveja{prop-iso}

\begin{cartao}

$B = \big((1,1),(1,-1)\big)$ é base de $\R^2$, e $[(3,1)]_B = (2,1)$, porque
$(3,1) = 2(1,1)+1(1,-1)$. ``Coordenadas'' e ``entradas'' são coisas diferentes.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.88,every node/.style={scale=0.88}]

\begin{scope}
 \begin{scope}
  \clip (-0.9,-1.9) rectangle (4.5,2.9);
  \foreach \x in {-1,0,1,2,3,4}{\draw[gd] (\x,-2)--(\x,3);}
  \foreach \y in {-1,0,1,2}{\draw[gd] (-1,\y)--(4.5,\y);}
 \end{scope}
 \draw[eixo] (-0.9,0)--(4.6,0);
 \draw[eixo] (0,-1.9)--(0,3.0);
 \draw[vet,Fcinza] (0,0)--(1,0);
 \draw[vet,Fcinza] (0,0)--(0,1);
 \node[cxs,Fcinza,anchor=north] at (0.55,-0.08) {$e_1$};
 \node[cxs,Fcinza,anchor=east] at (-0.1,0.55) {$e_2$};
 \draw[tr] (3,1)--(3,0);
 \draw[tr] (3,1)--(0,1);
 \fill[Fazul] (3,1) circle (2.3pt);
 \node[cxs,Fazul,anchor=south west] at (3.05,1.08) {$v$};
 \node[cxs,anchor=north] at (3,-0.1) {$3$};
 \node[cxs,anchor=east] at (-0.1,1) {$1$};
 \node[cx] at (1.8,-2.55) {$[v]_{\mathcal E} = (3,1)$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={(7.0,0)}]
 \begin{scope}
  \clip (-0.9,-1.9) rectangle (4.5,2.9);
  \foreach \a in {-2,-1,0,1,2,3,4}{
    \draw[Fcinza!30,line width=0.3pt] ({\a-3},{\a+3}) -- ({\a+3},{\a-3});
    \draw[Fcinza!30,line width=0.3pt] ({\a+3},{-\a+3}) -- ({\a-3},{-\a-3});}
 \end{scope}
 \draw[eixo] (-0.9,0)--(4.6,0);
 \draw[eixo] (0,-1.9)--(0,3.0);
 \draw[vet,Fverde] (0,0)--(1,1);
 \draw[vet,Fverde] (0,0)--(1,-1);
 \node[cxs,Fverde,anchor=south east] at (1.0,1.0) {$u_1$};
 \node[cxs,Fverde,anchor=north east] at (1.0,-1.05) {$u_2$};
 \draw[fseta,Frosa] (0,0)--(2,2);
 \draw[fseta,Frosa] (2,2)--(3,1);
 \node[cxs,Frosa,anchor=south east] at (1.95,2.08) {$2u_1$};
 \node[cxs,Frosa,anchor=south west] at (2.6,1.55) {$u_2$};
 \fill[Fazul] (3,1) circle (2.3pt);
 \node[cxs,Fazul,anchor=west] at (3.12,0.95) {$v$};
 \node[cx] at (1.8,-2.55) {$[v]_B = (2,1)$};
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape O mesmo vetor $v$, duas bases, duas listas de coordenadas. Escolher a base é
escolher a malha em que se conta; a \vejacard{prop-iso} diz que cada malha dá um
isomorfismo $V\to\R^n$, e que malhas diferentes dão isomorfismos diferentes.\par}

\end{cartao}