Um vetor que é combinação dos demais pode ser retirado
Se \(u\in[v_1,\ldots,v_k]\), então \([v_1,\ldots,v_k,u] = [v_1,\ldots,v_k]\). Em palavras: acrescentar ou retirar de uma lista um vetor que é combinação linear dos demais não muda o subespaço gerado.
Demonstração
A inclusão \(\supset\) é clara. Para \(\subset\): se \(u = \sum_ib_iv_i\), então \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k+cu = (a_1+cb_1)v_1+\cdots+(a_k+cb_k)v_k.\]
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\begin{cartao}
Se $u\in[v_1,\ldots,v_k]$, então
$[v_1,\ldots,v_k,u] = [v_1,\ldots,v_k]$. Em palavras: acrescentar ou retirar de uma lista um
vetor que é combinação linear dos demais não muda o subespaço gerado.
\begin{demonstracao}
A inclusão $\supset$ é clara. Para $\subset$: se $u = \sum_ib_iv_i$, então
\[a_1v_1+\cdots+a_kv_k+cu = (a_1+cb_1)v_1+\cdots+(a_k+cb_k)v_k.\]
\end{demonstracao}
\end{cartao}