Assinatura, autovalores e congruência
\(p\) e \(m\) são os números de autovalores positivos e negativos de \(A\) (contados com multiplicidade), e \(p+m = \posto A\).
Duas simétricas são congruentes se e somente se têm a mesma assinatura (e a mesma ordem).
Demonstração
(a) A redução de Sylvester do Teorema 9.16 tem \(p\) e \(m\) iguais a esses números, e pelo teorema qualquer outra tem os mesmos. O posto não muda por \(A\mapsto P^tAP\) (multiplicar por invertíveis), e o posto de \(\mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0)\) é \(p+m\). (b) Se têm a mesma assinatura, as duas são congruentes à mesma matriz diagonal de \(\pm1\) e \(0\); reciprocamente, \(B = P^tAP\) significa que \(B\) é a matriz de \(q\) noutra base, e a assinatura não depende da base.
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\begin{cartao}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$p$ e $m$ são os números de autovalores positivos e negativos de $A$ (contados com
multiplicidade), e $p+m = \posto A$.}
\item \emph{Duas simétricas são congruentes se e somente se têm a mesma assinatura (e a mesma
ordem).}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a) A redução de Sylvester do \vejacard{thm-reducao} tem $p$ e $m$ iguais a esses números,
e pelo teorema qualquer outra tem os mesmos. O posto não muda por $A\mapsto P^tAP$ (multiplicar
por invertíveis), e o posto de $\mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0)$ é $p+m$.
(b) Se têm a mesma assinatura, as duas são congruentes à mesma matriz diagonal de $\pm1$ e $0$;
reciprocamente, $B = P^tAP$ significa que $B$ é a matriz de $q$ noutra base, e a assinatura
não depende da base.
\end{demonstracao}
\end{cartao}