Gerador minimal, gerador LI e LI maximal são o mesmo
Para uma lista finita \(B = (v_1,\ldots,v_k)\) de vetores de \(V\), são equivalentes:
\(B\) é um gerador minimal de \(V\);
\(B\) gera \(V\) e é LI;
\(B\) é LI maximal em \(V\).
Os três casos em \(\R^2\). À esquerda sobra um vetor (qualquer um dos três); no meio falta um vetor (qualquer um fora da reta); à direita não sobra nem falta. O teorema diz que “não sobra” e “não falta” acontecem juntos.
Uma lista com essas três propriedades se chama base (Definição 2.64).
Demonstração
(a)\(\Rightarrow\)(b). Se \(B\) fosse LD, algum \(v_j\) seria combinação dos demais (Proposição 2.46(a)), e retirá-lo não mudaria o subespaço gerado (Lema 2.42): a lista menor ainda geraria \(V\), contra a minimalidade.
(b)\(\Rightarrow\)(a). Se, retirando \(v_j\), a lista ainda gerasse \(V\), então \(v_j\) seria combinação dos demais, e \(B\) seria LD.
(b)\(\Rightarrow\)(c). Todo \(u\in V = [B]\) é combinação dos \(v_i\), e então a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD pela Proposição 2.46(a).
(c)\(\Rightarrow\)(b). Dado \(u\in V\), a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD e \(B\) é LI; pela Proposição 2.46(b), \(u\in[B]\). Logo \(B\) gera \(V\).
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\cardtitulo{Gerador minimal, gerador LI e LI maximal são o mesmo}
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\cardrequer{def-minmax}
\cardrequerdem{prop-ld, lem-sobra}
\cardveja{def-base}
\begin{cartao}
\emph{Para uma lista finita $B = (v_1,\ldots,v_k)$ de vetores
de $V$, são equivalentes:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$B$ é um gerador minimal de $V$;}
\item \emph{$B$ gera $V$ e é LI;}
\item \emph{$B$ é LI maximal em $V$.}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.8,0);
\draw[eixo] (0,-1.1)--(0,1.8);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(1,0);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(0,1);
\draw[vet,Frosa] (0,0)--(1,1);
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (0.6,-0.05) {$e_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (-0.05,0.6) {$e_2$};
\node[cxs,Frosa,anchor=south west] at (1,1) {$e_1+e_2$};
\node[cx,align=center] at (0.3,-1.8) {gera, LD\\ \emph{não minimal}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(4.6,0)}]
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.8,0);
\draw[eixo] (0,-1.1)--(0,1.8);
\draw[Fcinza!60,line width=0.9pt] (-1.2,0)--(1.7,0);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(1,0);
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (0.6,-0.05) {$e_1$};
\draw[vet,Fverde,dashed] (0,0)--(0.6,1.3);
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (0.6,1.3) {$u\notin[e_1]$};
\node[cx,align=center] at (0.3,-1.8) {LI, não gera\\ \emph{não maximal}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(9.2,0)}]
\draw[eixo] (-1.3,0)--(1.8,0);
\draw[eixo] (0,-1.1)--(0,1.8);
\draw[vet,Fverde] (0,0)--(1.2,0.4);
\draw[vet,Fverde] (0,0)--(-0.3,1.1);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (0.9,0.2) {$v_1$};
\node[cxs,Fverde,anchor=east] at (-0.3,1.1) {$v_2$};
\node[cx,align=center] at (0.3,-1.8) {gera e LI\\ \emph{minimal e maximal}};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Os três casos em $\R^2$. À esquerda sobra um vetor (qualquer um
dos três); no meio falta um vetor (qualquer um fora da reta); à direita não sobra nem falta.
O teorema diz que ``não sobra'' e ``não falta'' acontecem juntos.\par}
\noindent Uma lista com essas três propriedades se chama \emph{base} (\vejacard{def-base}).
\begin{demonstracao}
(a)$\Rightarrow$(b). Se $B$ fosse LD, algum $v_j$ seria combinação dos demais
(\vejacard{prop-ld}(a)), e retirá-lo não mudaria o subespaço gerado
(\vejacard{lem-sobra}): a lista menor ainda geraria $V$, contra a minimalidade.
(b)$\Rightarrow$(a). Se, retirando $v_j$, a lista ainda gerasse $V$, então $v_j$ seria
combinação dos demais, e $B$ seria LD.
(b)$\Rightarrow$(c). Todo $u\in V = [B]$ é combinação dos $v_i$, e então a lista
$(v_1,\ldots,v_k,u)$ é LD pela \vejacard{prop-ld}(a).
(c)$\Rightarrow$(b). Dado $u\in V$, a lista $(v_1,\ldots,v_k,u)$ é LD e $B$ é LI; pela
\vejacard{prop-ld}(b), $u\in[B]$. Logo $B$ gera $V$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}