Equações de um subespaço de \(\R^4\) pelo anulador
Seja \[S = [(1,2,-1,0),\,(0,1,1,1)]\subset\R^4.\] Os dois vetores são LI, \(\dim S = 2\), logo \(\dim S^0 = 2\). O sistema \[y_1+2y_2-y_3 = 0,\qquad y_2+y_3+y_4 = 0\] tem \(y_3,y_4\) livres: \(y_2 = -y_3-y_4\) e \(y_1 = -2y_2+y_3 = 3y_3+2y_4\). Uma base de \(S^0\): \[(3,-1,1,0),\qquad(2,-1,0,1).\] Portanto \[S = \{(x,y,z,w):\ 3x-y+z = 0,\ \ 2x-y+w = 0\}.\] Confira: \((1,2,-1,0)\) dá \(3-2-1 = 0\) e \(2-2+0 = 0\).
É o Exemplo 3.39, agora com nome. A receita: para achar equações de \(S = [u_1,\ldots,u_k]\), resolva o sistema cujas linhas são os \(u_i\); cada solução é uma equação de \(S\), e uma base das soluções é um sistema mínimo. O número mínimo de equações é \(n-\dim S\).
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\cardtitulo{Equações de um subespaço de $\R^4$ pelo anulador}
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Seja
\[S = [(1,2,-1,0),\,(0,1,1,1)]\subset\R^4.\]
Os dois vetores são LI, $\dim S = 2$, logo
$\dim S^0 = 2$. O sistema
\[y_1+2y_2-y_3 = 0,\qquad y_2+y_3+y_4 = 0\]
tem $y_3,y_4$ livres: $y_2 = -y_3-y_4$ e $y_1 = -2y_2+y_3 = 3y_3+2y_4$. Uma base de $S^0$:
\[(3,-1,1,0),\qquad(2,-1,0,1).\]
Portanto
\[S = \{(x,y,z,w):\ 3x-y+z = 0,\ \ 2x-y+w = 0\}.\]
Confira: $(1,2,-1,0)$ dá $3-2-1 = 0$ e $2-2+0 = 0$.
\noindent É o \vejacard{ex-duas}, agora com nome. A receita: \emph{para achar equações de
$S = [u_1,\ldots,u_k]$, resolva o
sistema cujas linhas são os $u_i$; cada solução é uma equação de $S$, e uma base das soluções
é um sistema mínimo}. O número mínimo de equações é $n-\dim S$.
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