Corolário 5.35

Alternativa de Fredholm

RequerDefinição 3.19Sistema linear Exemplo 5.3Funcionais em \(\R^n\) são vetores-linha

A demonstração exigeCorolário 5.31\((S^0)^0 = S\)Teorema 5.33Os quatro subespaços de uma transformação linear Proposição 3.21\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)Exemplo 5.19A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha

O sistema \(AX = b\) tem solução se e somente se \(yb = 0\) para todo vetor-linha \(y\) com \(yA = 0\).

Demonstração

\(AX = b\) tem solução \(\iff b\in\Ima(T_A) = (\Ima(T_A)^0)^0 = N(T_A^*)^0\), pelo Corolário 5.31 e pelo Teorema 5.33. E \(N(T_A^*) = \{y: yA = 0\}\) (Exemplo 5.19).

Usado emExemplo 5.36A alternativa de Fredholm num sistema \(3\times2\)

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\cardtitulo{Alternativa de Fredholm}
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\cardrequer{def-sist, ex-funcionais-em-rn}
\cardrequerdem{cor-dupla, thm-quatro, prop-compat, ex-linhas}
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\begin{cartao}

O sistema $AX = b$ tem
solução se e somente se $yb = 0$ para todo vetor-linha $y$ com $yA = 0$.

\begin{demonstracao}

$AX = b$ tem solução $\iff b\in\Ima(T_A) = (\Ima(T_A)^0)^0 = N(T_A^*)^0$, pelo
\vejacard{cor-dupla} e pelo \vejacard{thm-quatro}. E $N(T_A^*) = \{y: yA = 0\}$
(\vejacard{ex-linhas}).

\end{demonstracao}

\end{cartao}

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