Duas leituras de um sistema: por linhas e por colunas
Há duas leituras da equação \(AX = b\):
Por linhas. Cada equação \(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n = b_i\) descreve um hiperplano (afim) de \(\R^n\), e o conjunto solução é a interseção dos \(m\) hiperplanos.
Por colunas. Escrevendo \(A = [\,C_1\ \cdots\ C_n\,]\) em colunas, \[AX = x_1C_1+x_2C_2+\cdots+x_nC_n,\] de modo que resolver \(AX=b\) é perguntar de quantas maneiras \(b\) se escreve como combinação linear das colunas de \(A\).
A primeira leitura é a geométrica; a segunda é a que conecta os sistemas com combinações lineares, geradores e imagem.
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\begin{cartao}
Há duas leituras da equação $AX = b$:
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.2em,topsep=0.3em]
\item \emph{Por linhas.} Cada equação $a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n = b_i$ descreve um
hiperplano (afim) de $\R^n$, e o conjunto solução é a interseção dos $m$ hiperplanos.
\item \emph{Por colunas.} Escrevendo $A = [\,C_1\ \cdots\ C_n\,]$ em colunas,
\[AX = x_1C_1+x_2C_2+\cdots+x_nC_n,\]
de modo que resolver $AX=b$ é perguntar \emph{de quantas maneiras $b$ se escreve como
combinação linear das colunas de $A$}.
\end{itemize}
A primeira leitura é a geométrica; a segunda é a que conecta os sistemas com combinações lineares, geradores e imagem.
\end{cartao}