Critério de compatibilidade pela forma escada
\(AX=b\) é compatível se e somente se, numa forma escada de \([\,A\mid b\,]\), não aparece nenhuma linha da forma \((\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)\) com \(c\neq0\); equivalentemente, se e somente se \(\posto A = \posto[\,A\mid b\,]\).
Demonstração
Uma linha \((\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)\) com \(c\neq0\) é a equação \(0 = c\), impossível; e como o escalonamento preserva o conjunto solução, o sistema original também é impossível. Se nenhuma linha assim aparece, o algoritmo da Proposição 3.31 produz uma solução (atribua \(0\) às livres). Quanto à segunda formulação: acrescentar a coluna \(b\) faz o número de pivôs subir exatamente quando surge um pivô na última coluna, isto é, quando aparece uma linha daquele tipo.
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\begin{cartao}
$AX=b$ é compatível se e somente se, numa forma
escada de $[\,A\mid b\,]$, não aparece nenhuma linha da forma
$(\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)$ com $c\neq0$; equivalentemente, se e somente se
$\posto A = \posto[\,A\mid b\,]$.
\begin{demonstracao}
Uma linha $(\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)$ com $c\neq0$ é a equação $0 = c$, impossível; e como o
escalonamento preserva o conjunto solução, o sistema original também é impossível. Se
nenhuma linha assim aparece, o algoritmo da \vejacard{prop-pivos} produz uma solução
(atribua $0$ às livres). Quanto à segunda formulação: acrescentar a coluna $b$ faz o número
de pivôs subir exatamente quando surge um pivô na última coluna, isto é, quando aparece uma
linha daquele tipo.
\end{demonstracao}
\end{cartao}