O tipo da cônica \(q=1\) pelo determinante e pelo traço

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\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{O tipo da cônica $q=1$ pelo determinante e pelo traço}
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\cardrequer{def-assin}
\cardrequerdem{thm-reducao, cor-trdet}
\cardveja{thm-sylvester}

\begin{cartao}

\emph{Seja
$q(x,y) = ax^2+2bxy+cy^2$, $A = \left(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix}\right)$. A curva
$q = 1$ é}
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.15em,topsep=0.25em]
\item \emph{uma elipse se $\det A>0$ e $\tr A>0$; vazia se $\det A>0$ e $\tr A<0$;}
\item \emph{uma hipérbole se $\det A<0$;}
\item \emph{um par de retas paralelas ou o vazio se $\det A = 0$ (segundo o sinal de $\tr A$).}
\end{itemize}
\emph{Os eixos são as direções dos autovetores, e os semi-eixos, $1/\sqrt{\lambda_i}$ para
$\lambda_i>0$.}

\noindent Esta proposição é a lei de inércia em dimensão $2$: $\det$ e $\tr$ bastam para
conhecer a assinatura, sem calcular autovetores (a curva é
elipse se e somente se $ac-b^2>0$ \emph{e} $a>0$; sem a segunda condição, isso é falso).

\begin{demonstracao}

Em coordenadas próprias, $q = \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2$, com $\det A = \lambda_1\lambda_2$ e
$\tr A = \lambda_1+\lambda_2$. $\det>0$: mesmos sinais, e o traço diz qual. $\det<0$: sinais
opostos. $\det = 0$: um autovalor nulo, $\lambda y^2 = 1$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}