Redução de \(5x^2-4xy+8y^2\)
\(q(x,y) = 5x^2-4xy+8y^2\), \(A = \left(\begin{smallmatrix}5&-2\\-2&8\end{smallmatrix}\right)\): \(\tr A = 13\), \(\det A = 36\), autovalores \(4\) e \(9\), com autovetores \((2,1)\) e \((1,-2)\) (ortogonais, como deviam). Com \(Q = \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&-2\end{smallmatrix}\right)\), \[q = 4y_1^2+9y_2^2 = z_1^2+z_2^2\qquad(z_1 = 2y_1,\ z_2 = 3y_2).\] A curva \(q = 36\) é a elipse \(\frac{y_1^2}{9}+\frac{y_2^2}{4} = 1\), com semi-eixos \(3\) e \(2\) nas direções de \((2,1)\) e \((1,-2)\) — é a cônica do Exemplo 9.32.
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\cardtitulo{Redução de $5x^2-4xy+8y^2$}
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\begin{cartao}
$q(x,y) = 5x^2-4xy+8y^2$,
$A = \left(\begin{smallmatrix}5&-2\\-2&8\end{smallmatrix}\right)$: $\tr A = 13$, $\det A = 36$,
autovalores $4$ e $9$, com autovetores $(2,1)$ e $(1,-2)$ (ortogonais, como deviam). Com
$Q = \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&-2\end{smallmatrix}\right)$,
\[q = 4y_1^2+9y_2^2 = z_1^2+z_2^2\qquad(z_1 = 2y_1,\ z_2 = 3y_2).\]
A curva $q = 36$ é a elipse $\frac{y_1^2}{9}+\frac{y_2^2}{4} = 1$, com semi-eixos $3$ e $2$ nas
direções de $(2,1)$ e $(1,-2)$ --- é a cônica do \vejacard{ex-conicas-a}.
\end{cartao}