\(\dim N(A) = n-\posto A\): a dimensão do conjunto solução
Para toda \(A\in\Mat{m}{n}\) vale \(\dim N(A) = n-\posto A\). Em consequência, se \(AX=b\) é compatível, o seu conjunto solução é um subespaço afim de \(\R^n\) de dimensão \(n-\posto A\): um transladado do espaço solução do sistema homogêneo associado.
O teorema em uma figura. O conjunto solução de um sistema compatível é o espaço solução do homogêneo empurrado por uma solução particular qualquer. Ele tem a mesma dimensão, mas não passa pela origem — e por isso não é subespaço, a menos que \(b=0\).
Três leituras da figura: o conjunto solução não é subespaço, salvo se \(b=0\); trocar \(X_0\) por outra solução não muda o conjunto; e se \(N(A)=\{0\}\) ele se reduz a um ponto: a solução é única.
Demonstração
É o Teorema 2.92 aplicado a \(T_A:\R^n\to\R^m\): \(n = \dim N(T_A)+\dim\Ima(T_A)\). O resto é o Teorema 3.22.
Em movimento: Inverse matrices, column space, and null space — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{$\dim N(A) = n-\posto A$: a dimensão do conjunto solução}
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\cardautor{}
\cardrequer{def-posto, def-sist}
\cardrequerdem{thm-nucimg, thm-afim}
\cardveja{ex-dimensao-do-espaco-de-solucoes}
\begin{cartao}
\emph{Para toda $A\in\Mat{m}{n}$ vale
$\dim N(A) = n-\posto A$. Em consequência, se $AX=b$ é compatível, o seu conjunto solução é
um \emph{subespaço afim} de $\R^n$ de dimensão $n-\posto A$: um transladado do espaço
solução do sistema homogêneo associado.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[eixo] (-3.0,0)--(3.6,0);
\draw[eixo] (0,-1.5)--(0,2.9);
\draw[Fazul,line width=1.3pt] (-2.6,-1.3)--(3.0,1.5);
\node[cxs,Fazul,anchor=north west] at (-2.5,-1.15) {$N(A)$};
\node[cxs,Fazul,anchor=north west] at (-2.5,-1.55) {\emph{($AX=0$)}};
\draw[Flaranja,line width=1.3pt] (-2.9,0.35)--(2.7,3.15);
\node[cxs,Flaranja,anchor=south east] at (2.65,3.2) {$X_0+N(A)$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=north east] at (2.65,3.15) {\emph{($AX=b$)}};
\draw[fseta,Fverde] (0,0)--(0.6,1.95);
\node[cxs,Fverde,anchor=east] at (0.05,1.15) {$X_0$};
\fill[Fverde] (0.6,1.95) circle (2.2pt);
\fill[Flaranja] (1.9,2.6) circle (2.2pt);
\draw[Fcinza,dashed,line width=0.5pt] (0.6,1.95)--(1.9,2.6);
\node[cxs,Fcinza,anchor=south west] at (1.15,2.15) {$Y\in N(A)$};
\fill[black] (0,0) circle (1.8pt);
\node[cxs,anchor=north east] at (-0.05,-0.05) {$0$};
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (3.9,0.4)
{as duas retas são\\ paralelas: mesma\\ direção, alturas\\ diferentes.\\[0.4em]
$\dim = n-\posto A$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O teorema em uma figura. O conjunto solução de um sistema
compatível é o espaço solução do homogêneo \emph{empurrado} por uma solução particular
qualquer. Ele tem a mesma dimensão, mas não passa pela origem --- e por isso não é
subespaço, a menos que $b=0$.\par}
\noindent Três leituras da figura: o conjunto solução não é subespaço, salvo se $b=0$; trocar
$X_0$ por outra solução não muda o conjunto; e se $N(A)=\{0\}$ ele se reduz a um ponto: a
solução é única.
\begin{demonstracao}
É o \vejacard{thm-nucimg} aplicado a $T_A:\R^n\to\R^m$:
$n = \dim N(T_A)+\dim\Ima(T_A)$. O resto é o \vejacard{thm-afim}.
\end{demonstracao}
\end{cartao}