Discussão de um sistema com parâmetro
Uma discussão. Discutir, segundo \(a\in\R\), \[\begin{cases} x+\ y+\ z = 1\\ x+2y+az = 2\\ x+ay+2z = a^2-2. \end{cases}\] Subtraindo a primeira linha das outras duas e depois eliminando: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 1&2&a&2\\ 1&a&2&a^2-2\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&a-1&1&a^2-3\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&0&-a(a-2)&(a-2)(a+1)\end{array}\right],\] onde na última linha usamos \(1-(a-1)^2 = -a(a-2)\) e \(a^2-3-(a-1) = (a-2)(a+1)\). Agora a discussão é a leitura da última linha:
\(a\neq0\) e \(a\neq2\): três pivôs, \(\posto A = 3 = n\). Sistema compatível determinado: solução única.
\(a=0\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid -2)\). Sistema incompatível.
\(a=2\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid 0)\). Dois pivôs, \(\posto A = 2\), \(\dim N(A) = 1\): sistema compatível indeterminado, com conjunto solução \[(0,1,0)+t\,(0,-1,1),\qquad t\in\R.\]
As três possibilidades, desenhadas com retas no plano — é a versão em uma dimensão a menos do que acontece com os três planos de \(\R^3\). Um sistema linear nunca tem exatamente duas soluções: ou nenhuma, ou uma, ou infinitas. O Teorema 3.22 é a razão — o conjunto solução, quando não é vazio, é um transladado de um subespaço.
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\begin{cartao}
\emph{Uma discussão.} Discutir,
segundo $a\in\R$,
\[\begin{cases}
x+\ y+\ z = 1\\
x+2y+az = 2\\
x+ay+2z = a^2-2.
\end{cases}\]
Subtraindo a primeira linha das outras duas e depois eliminando:
\[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\ 1&2&a&2\\ 1&a&2&a^2-2\end{array}\right]
\longrightarrow
\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&a-1&1&a^2-3\end{array}\right]
\longrightarrow
\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&0&-a(a-2)&(a-2)(a+1)\end{array}\right],\]
onde na última linha usamos $1-(a-1)^2 = -a(a-2)$ e
$a^2-3-(a-1) = (a-2)(a+1)$. Agora a discussão é a leitura da última linha:
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.25em,topsep=0.3em]
\item \textbf{$a\neq0$ e $a\neq2$:} três pivôs, $\posto A = 3 = n$. Sistema
\textbf{compatível determinado}: solução única.
\item \textbf{$a=0$:} a última linha vira $(0\ 0\ 0\mid -2)$. Sistema
\textbf{incompatível}.
\item \textbf{$a=2$:} a última linha vira $(0\ 0\ 0\mid 0)$. Dois pivôs, $\posto A = 2$,
$\dim N(A) = 1$: sistema \textbf{compatível indeterminado}, com conjunto solução
\[(0,1,0)+t\,(0,-1,1),\qquad t\in\R.\]
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,every node/.style={scale=0.8}]
\begin{scope}
\draw[Fazul,line width=1pt] (-1.8,-1.1)--(1.8,1.1);
\draw[Flaranja,line width=1pt] (-1.5,1.5)--(1.5,-1.5);
\draw[Fverde,line width=1pt] (-1.8,0)--(1.8,0);
\fill[black] (0,0) circle (2.2pt);
\node[cx,anchor=north] at (0,-2.1) {$a\neq0,2$};
\node[cxs,anchor=north] at (0,-2.55) {determinado};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(5.2,0)}]
\draw[Fazul,line width=2.6pt] (-1.8,-0.9)--(1.8,0.9);
\draw[Flaranja,line width=1.4pt,dashed] (-1.8,-0.9)--(1.8,0.9);
\draw[Fverde,line width=1pt,dotted] (-1.8,-0.9)--(1.8,0.9);
\node[cx,anchor=north] at (0,-2.1) {$a=2$};
\node[cxs,anchor=north] at (0,-2.55) {indeterminado};
\node[cxs,anchor=south,align=center] at (0,1.05) {as três condições\\ colapsam};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(10.4,0)}]
\draw[Fazul,line width=1pt] (-1.9,-0.9)--(1.9,0.5);
\draw[Flaranja,line width=1pt] (-1.6,1.4)--(1.2,-1.5);
\draw[Fverde,line width=1pt] (-1.9,0.9)--(1.9,-0.5);
\node[cx,anchor=north] at (0,-2.1) {$a=0$};
\node[cxs,anchor=north] at (0,-2.55) {incompatível};
\node[cxs,anchor=south] at (0,1.35) {não há ponto comum};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape As três possibilidades, desenhadas com retas no plano --- é a
versão em uma dimensão a menos do que acontece com os três planos de $\R^3$. Um sistema
linear nunca tem exatamente duas soluções: ou nenhuma, ou uma, ou infinitas. O
\vejacard{thm-afim} é a razão --- o conjunto solução, quando não é vazio, é um
transladado de um subespaço.\par}
\end{cartao}