Sequências exatas curtas
\(0\to U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\to0\) é exata se e somente se \(f\) é injetora, \(g\) é sobrejetora e \(\Ima(f) = N(g)\). Nesse caso, \[\dim V = \dim U+\dim W\qquad\text{e}\qquad W\iso V/f(U).\]
Uma sequência exata curta é a régua do Teorema 2.92 com nomes novos: \(U\) entra em \(V\) como o núcleo de \(g\), e \(W\) é o que sobra. A escolha de um complementar de \(f(U)\) (ou de um produto interno) dá \(V\iso U\times W\); sem escolha, só se tem \(W\iso V/f(U)\).
Uma \(\sigma:W\to V\) com \(g\circ\sigma = \mathrm{Id}\) sempre existe (tome uma base de \(W\) e escolha pré-imagens), e dá \(V\iso U\times W\). Isso é especial de espaços vetoriais: para grupos, \(0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to0\) é exata e não cinde.
Demonstração
Exatidão em \(U\): o núcleo de \(f\) é a imagem de \(0\to U\), que é \(\{0\}\). Em \(W\): a imagem de \(g\) é o núcleo de \(W\to0\), que é \(W\). Em \(V\): \(\Ima(f) = N(g)\). Então \(\dim V = \dim N(g)+\dim\Ima(g) = \dim f(U)+\dim W = \dim U+\dim W\); e o teorema do isomorfismo (Teorema 5.48) dá \(V/N(g)\iso W\).
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\cardtitulo{Sequências exatas curtas}
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\cardrequer{def-exata, def-dim}
\cardrequerdem{thm-nucimg, thm-iso, prop-inj}
\cardveja{nota-regua-li-e-geradores}
\begin{cartao}
\emph{$0\to U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\to0$ é exata
se e somente se $f$ é injetora, $g$ é sobrejetora e $\Ima(f) = N(g)$. Nesse caso,}
\[\dim V = \dim U+\dim W\qquad\text{e}\qquad W\iso V/f(U).\]
\begin{demonstracao}
Exatidão em $U$: o núcleo de $f$ é a imagem de $0\to U$, que é $\{0\}$. Em $W$: a imagem de
$g$ é o núcleo de $W\to0$, que é $W$. Em $V$: $\Ima(f) = N(g)$. Então
$\dim V = \dim N(g)+\dim\Ima(g) = \dim f(U)+\dim W = \dim U+\dim W$; e o teorema do
isomorfismo (\vejacard{thm-iso}) dá $V/N(g)\iso W$.
\end{demonstracao}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (Z1) at (0,0) {$0$};
\node[cx] (U) at (1.6,0) {$U$};
\node[cx] (V) at (3.8,0) {$V$};
\node[cx] (W) at (6.0,0) {$W$};
\node[cx] (Z2) at (7.6,0) {$0$};
\draw[fseta] (Z1)--(U); \draw[fseta,Fverde] (U)--(V) node[midway,above,cxs] {$f$ injetora};
\draw[fseta,Fazul] (V)--(W) node[midway,above,cxs] {$g$ sobrejetora};
\draw[fseta] (W)--(Z2);
\node[cxs,anchor=north] at (3.8,-0.3) {$\Ima f = N(g)$};
\begin{scope}[shift={(0.8,-1.8)}]
\draw[line width=0.8pt] (0,0) rectangle (6.0,0.5);
\fill[Fverde!16] (0.03,0.03) rectangle (2.2,0.47);
\fill[Fazul!12] (2.2,0.03) rectangle (5.97,0.47);
\draw[line width=0.8pt] (2.2,0)--(2.2,0.5);
\node[cxs,Fverde] at (1.1,0.25) {$f(U)\iso U$};
\node[cxs,Fazul] at (4.1,0.25) {\emph{o resto} $\iso V/f(U)\iso W$};
\draw[decorate,decoration={brace,mirror,amplitude=4pt},line width=0.6pt] (0,-0.14)--(6.0,-0.14);
\node[cxs,anchor=north] at (3.0,-0.28) {$\dim V = \dim U+\dim W$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Uma sequência exata curta é a régua do \vejacard{thm-nucimg} com nomes novos: $U$
entra em $V$ como o núcleo de $g$, e $W$ é o que sobra. A escolha de um complementar de $f(U)$
(ou de um produto interno) dá $V\iso U\times W$; sem escolha, só se tem $W\iso V/f(U)$.\par}
\noindent Uma $\sigma:W\to V$ com $g\circ\sigma = \mathrm{Id}$ sempre existe (tome uma base de
$W$ e escolha pré-imagens), e dá $V\iso U\times W$. Isso é \emph{especial} de espaços
vetoriais: para grupos,
$0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to0$ é exata e não cinde.
\end{cartao}