Um elipsoide: \(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\)
\(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\): \(A = \left(\begin{smallmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\-1&0&3\end{smallmatrix} \right)\). O autovalor \(2\) vem de \(y\); o bloco \(\left(\begin{smallmatrix}1&-1\\-1&3\end{smallmatrix} \right)\) tem \(\tr = 4\) e \(\det = 2\), logo autovalores \(2\pm\sqrt2>0\). Assinatura \((3,0)\): elipsoide, com semi-eixos \(\frac{1}{\sqrt2}\), \(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}}\).
O atalho: quando a matriz se parte em blocos, os autovalores se calculam bloco a bloco (Proposição 8.45), e para decidir a assinatura de um bloco \(2\times2\) bastam \(\det\) e \(\tr\) (Proposição 9.31).
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\cardtitulo{Um elipsoide: $x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1$}
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\cardrequer{nota-quadricas-pela-assinatura, prop-dettr}
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\begin{cartao}
$x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1$: $A = \left(\begin{smallmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\-1&0&3\end{smallmatrix}
\right)$. O autovalor $2$ vem de $y$; o bloco $\left(\begin{smallmatrix}1&-1\\-1&3\end{smallmatrix}
\right)$ tem $\tr = 4$ e $\det = 2$, logo autovalores $2\pm\sqrt2>0$. Assinatura $(3,0)$:
\emph{elipsoide}, com semi-eixos $\frac{1}{\sqrt2}$, $\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}$,
$\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}}$.
\noindent O atalho: quando a matriz se parte em blocos, os autovalores se
calculam bloco a bloco (\vejacard{prop-somainv}), e para decidir a assinatura de um bloco
$2\times2$ bastam $\det$ e $\tr$ (\vejacard{prop-dettr}).
\end{cartao}