Mais incógnitas do que equações: há solução não trivial
Se \(m<n\) — mais incógnitas do que equações —, então o sistema homogêneo \(AX=0\) tem solução não trivial.
O enunciado é o do Lema 2.52, usado na demonstração do lema da troca (Lema 2.53); aqui ele sai da contagem de dimensões.
Demonstração
\(\posto A = \dim\Ima(T_A)\leq\dim\R^m = m<n\), logo \(\dim N(A) = n-\posto A>0\).
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\begin{cartao}
Se $m<n$ --- mais incógnitas do que equações ---,
então o sistema homogêneo $AX=0$ tem solução não trivial.
\noindent O enunciado é o do \vejacard{lem-sist}, usado na demonstração do lema da troca
(\vejacard{lem-troca}); aqui ele sai da contagem de dimensões.
\begin{demonstracao}
$\posto A = \dim\Ima(T_A)\leq\dim\R^m = m<n$, logo
$\dim N(A) = n-\posto A>0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}