As duas descrições de um subespaço: geradores e equações
As duas descrições de um subespaço. Um subespaço de \(\R^n\) pode ser dado por geradores ou por equações, e escalonar é o que traduz uma descrição na outra.
Tome \(S = [\,(1,2,-1,0),\ (0,1,1,1)\,]\subset\R^4\). Para achar equações, procuramos os \((c_1,c_2,c_3,c_4)\) que se anulam nos dois geradores: \[\begin{cases} c_1+2c_2-c_3 = 0\\ c_2+c_3+c_4 = 0.\end{cases}\] Esse sistema tem \(\posto 2\) e portanto espaço solução de dimensão \(2\); tomando \(c_3,c_4\) como livres, uma base é \((3,-1,1,0)\) e \((2,-1,0,1)\). Logo \[S = \{(x,y,z,w)\in\R^4 : 3x-y+z = 0 \ \text{ e } \ 2x-y+w = 0\}.\] Conferindo nos geradores: \(3-2-1 = 0\) e \(2-2+0=0\); \(0-1+1 = 0\) e \(0-1+1 = 0\).
Todo subespaço de \(\R^n\) tem duas descrições, e o escalonamento é o dicionário entre elas. Uma tem \(\dim S\) dados; a outra tem \(n-\dim S\). Esse par de descrições tem nome próprio: as equações são o anulador de \(S\) (Definição 5.24), e a soma das duas dimensões dar \(n\) não é coincidência.
O caminho de volta fecha o círculo: a partir das duas equações, resolver o sistema recupera os dois geradores.
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\cardtitulo{As duas descrições de um subespaço: geradores e equações}
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\begin{cartao}
\emph{As duas descrições de um subespaço.} Um subespaço de
$\R^n$ pode ser dado \emph{por geradores} ou \emph{por equações}, e escalonar é o que
traduz uma descrição na outra.
Tome $S = [\,(1,2,-1,0),\ (0,1,1,1)\,]\subset\R^4$. Para achar equações, procuramos os
$(c_1,c_2,c_3,c_4)$ que se anulam nos dois geradores:
\[\begin{cases} c_1+2c_2-c_3 = 0\\ c_2+c_3+c_4 = 0.\end{cases}\]
Esse sistema tem $\posto 2$ e portanto espaço solução de dimensão $2$; tomando $c_3,c_4$
como livres, uma base é $(3,-1,1,0)$ e $(2,-1,0,1)$. Logo
\[S = \{(x,y,z,w)\in\R^4 : 3x-y+z = 0 \ \text{ e } \ 2x-y+w = 0\}.\]
Conferindo nos geradores: $3-2-1 = 0$ e $2-2+0=0$; \ $0-1+1 = 0$ e $0-1+1 = 0$.
\checkmark
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[draw,line width=0.9pt,rounded corners=5pt,fill=Fazul!10,align=center,
minimum width=4.6cm,minimum height=1.5cm,font=\small] (G) at (0,0)
{\textbf{por geradores}\\[0.2em] $S = [\,v_1,\ldots,v_k\,]$};
\node[draw,line width=0.9pt,rounded corners=5pt,fill=Flaranja!12,align=center,
minimum width=4.6cm,minimum height=1.5cm,font=\small] (E) at (8.2,0)
{\textbf{por equações}\\[0.2em] $S = \{x : Cx = 0\}$};
\draw[fseta,Fverde] (2.35,0.42)--(5.85,0.42);
\node[cxs,Fverde,anchor=south,align=center] at (4.1,0.52)
{ache as relações: resolva\\ $c\cdot v_i = 0$ para todo $i$};
\draw[fseta,Frosa] (5.85,-0.42)--(2.35,-0.42);
\node[cxs,Frosa,anchor=north,align=center] at (4.1,-0.52)
{resolva $Cx=0$ e leia\\ uma base do núcleo};
\node[cxs,Fcinza,anchor=north,align=center] at (4.1,-1.75)
{$k = \dim S$ \hspace{1.6em} $\#$equações independentes $= n-\dim S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Todo subespaço de $\R^n$ tem duas descrições, e o escalonamento é
o dicionário entre elas. Uma tem $\dim S$ dados; a outra tem $n-\dim S$. Esse
par de descrições tem nome próprio: as equações são o \emph{anulador} de $S$
(\vejacard{def-anul}), e a soma
das duas dimensões dar $n$ não é coincidência.\par}
\noindent O caminho de volta fecha o círculo: a partir das duas equações, resolver o sistema
recupera os dois geradores.
\end{cartao}