Propriedades das matrizes ortogonais
Seja \(A\) ortogonal (\(A^tA = I\)). Então \(\langle Au,Av\rangle = \langle u,v\rangle\); \(\det A = \pm1\); todo autovalor real é \(\pm1\); e se \(S\) é invariante por \(A\), \(S^\perp\) também é.
Demonstração
\(\langle Au,Av\rangle = u^tA^tAv = u^tv\). \(\det(A^t)\det A = 1\) e \(\det A^t = \det A\). Se \(Av = \lambda v\), \(v\neq0\), então \(\|v\| = \|Av\| = |\lambda|\,\|v\|\). Se \(A(S)\subset S\), então \(A(S) = S\) (\(A\) é injetora), e para \(v\in S^\perp\) e \(s = As'\in S\): \(\langle Av,s\rangle = \langle Av,As'\rangle = \langle v,s'\rangle = 0\).
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\cardtitulo{Propriedades das matrizes ortogonais}
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\begin{cartao}
Seja $A$ ortogonal
($A^tA = I$). Então $\langle Au,Av\rangle = \langle u,v\rangle$; $\det A = \pm1$; todo autovalor
real é $\pm1$; e se $S$ é invariante por $A$, $S^\perp$ também é.
\begin{demonstracao}
$\langle Au,Av\rangle = u^tA^tAv = u^tv$. $\det(A^t)\det A = 1$ e $\det A^t = \det A$. Se
$Av = \lambda v$, $v\neq0$, então $\|v\| = \|Av\| = |\lambda|\,\|v\|$. Se $A(S)\subset S$, então
$A(S) = S$ ($A$ é injetora), e para $v\in S^\perp$ e $s = As'\in S$:
$\langle Av,s\rangle = \langle Av,As'\rangle = \langle v,s'\rangle = 0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}