O determinante da multiplicação à esquerda
Multiplicação à esquerda. Fixe \(M\in\Mat{n}{n}\) e seja \(L_M(A) = MA\). Como a \(k\)-ésima coluna de \(MA\) é \(M\) vezes a \(k\)-ésima coluna de \(A\), o operador \(L_M\) age em cada coluna separadamente. Ordenando a base \(\{E_{ij}\}\) coluna a coluna, a matriz de \(L_M\) é diagonal por blocos, com \(n\) cópias de \(M\); pela Proposição 4.28, \[\det L_M = (\det M)^n.\]
Aqui, como no Exemplo 4.30, o determinante de um operador é calculado sem que se escreva a matriz inteira. O truque nos dois casos é o mesmo: escolher a base certa e reconhecer a estrutura.
ex-esq · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{ex-esq}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{O determinante da multiplicação à esquerda}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-detop, prop-determinante-por-blocos, ex-bases-c, ex-transposicao-e-multiplicacao-a-esquerda}
\cardrequerdem{}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Multiplicação à esquerda.} Fixe
$M\in\Mat{n}{n}$ e seja $L_M(A) = MA$. Como a $k$-ésima coluna de $MA$ é $M$ vezes
a $k$-ésima coluna de $A$, o operador $L_M$ age em cada coluna \emph{separadamente}.
Ordenando a base $\{E_{ij}\}$ coluna a coluna, a matriz de $L_M$ é diagonal por blocos, com
$n$ cópias de $M$; pela \vejacard{prop-determinante-por-blocos},
\[\det L_M = (\det M)^n.\]
\noindent Aqui, como no \vejacard{ex-transposicao-determinante}, o determinante de um operador é
calculado sem que se escreva a matriz inteira. O truque nos dois casos é o mesmo: escolher a
base certa e reconhecer a estrutura.
\end{cartao}