A projeção ortogonal é a melhor aproximação
Para todo \(s\in S\) com \(s\neq P_Sv\), \[\|v-P_Sv\|<\|v-s\|.\] Isto é: \(P_Sv\) é o único ponto de \(S\) mais próximo de \(v\).
O pé da perpendicular é o ponto mais próximo. Para qualquer outro \(s\in S\), o triângulo \(v\), \(P_Sv\), \(s\) tem ângulo reto em \(P_Sv\), e a hipotenusa \(\|v-s\|\) é maior que o cateto \(\|v-P_Sv\|\). É a demonstração inteira do teorema.
Em uma frase: o erro da melhor aproximação é perpendicular ao subespaço.
Demonstração
Escreva \(v-s = (v-P_Sv)+(P_Sv-s)\). A primeira parcela está em \(S^\perp\) e a segunda em \(S\); por Pitágoras, \[\|v-s\|^2 = \|v-P_Sv\|^2+\|P_Sv-s\|^2>\|v-P_Sv\|^2,\] porque \(P_Sv-s\neq0\).
thm-aprox · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{thm-aprox}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{A projeção ortogonal é a melhor aproximação}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-proj}
\cardrequerdem{prop-pit}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Para
todo $s\in S$ com $s\neq P_Sv$,}
\[\|v-P_Sv\|<\|v-s\|.\]
\emph{Isto é: $P_Sv$ é o único ponto de $S$ mais próximo de $v$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
x={(-0.5cm,-0.4cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}]
\fill[Fazul!10] (-1.2,-1.0,0)--(2.4,-1.0,0)--(2.4,3.6,0)--(-1.2,3.6,0)--cycle;
\draw[Fazul!50,line width=0.5pt] (-1.2,-1.0,0)--(2.4,-1.0,0)--(2.4,3.6,0)--(-1.2,3.6,0)--cycle;
\node[cxs,Fazul,anchor=south east] at (-1.2,3.6,0) {$S$};
\fill[black] (0,0,0) circle (1.4pt);
\node[cxs,anchor=east] at (0,0,0) {$0$};
\fill[black] (0.8,2.0,1.8) circle (1.8pt);
\node[cxs,anchor=south] at (0.8,2.0,1.8) {$v$};
\fill[Fverde] (0.8,2.0,0) circle (1.8pt);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (0.8,2.0,-0.05) {$P_Sv$};
\draw[Frosa,line width=1.1pt] (0.8,2.0,0)--(0.8,2.0,1.8);
\node[cxs,Frosa,anchor=west] at (0.8,2.0,1.0) {$v-P_Sv\in S^\perp$};
\fill[Flaranja] (1.9,0.6,0) circle (1.8pt);
\node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (1.9,0.6,0) {$s$};
\draw[Flaranja,line width=0.8pt,dashed] (1.9,0.6,0)--(0.8,2.0,1.8);
\draw[Flaranja,line width=0.8pt,dashed] (1.9,0.6,0)--(0.8,2.0,0);
\node[cx,anchor=west,align=left] at (0,4.4,0.6)
{$\|v-s\|^2 = \|v-P_Sv\|^2+\|P_Sv-s\|^2$\\[0.2em] \emph{(Pitágoras no triângulo}\\
\emph{de vértices $v$, $P_Sv$, $s$)}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O pé da perpendicular é o ponto mais próximo. Para qualquer outro
$s\in S$, o triângulo $v$, $P_Sv$, $s$ tem ângulo reto em $P_Sv$, e a hipotenusa $\|v-s\|$ é
maior que o cateto $\|v-P_Sv\|$. É a demonstração inteira do teorema.\par}
\noindent Em uma frase: \emph{o erro da melhor aproximação é perpendicular ao subespaço}.
\begin{demonstracao}
Escreva $v-s = (v-P_Sv)+(P_Sv-s)$. A primeira parcela está em $S^\perp$ e a segunda em $S$;
por Pitágoras,
\[\|v-s\|^2 = \|v-P_Sv\|^2+\|P_Sv-s\|^2>\|v-P_Sv\|^2,\]
porque $P_Sv-s\neq0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}