Fórmula da projeção ortogonal
Se \((u_1,\ldots,u_k)\) é base ortonormal de \(S\), \[P_Sv = \sum_{i=1}^k\langle v,u_i\rangle\,u_i.\] Mais geralmente, \(P_Sv\) é o único \(s\in S\) com \(v-s\perp S\).
Demonstração
Ponha \(s = \sum_i\langle v,u_i\rangle u_i\in S\). Para cada \(j\), \(\langle v-s,u_j\rangle = \langle v,u_j\rangle-\langle v,u_j\rangle = 0\), logo \(v-s\in S^\perp\) e \(v = s+(v-s)\) é a decomposição de \(v\). A unicidade é a da soma direta.
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\begin{cartao}
\emph{Se $(u_1,\ldots,u_k)$ é base ortonormal de $S$,}
\[P_Sv = \sum_{i=1}^k\langle v,u_i\rangle\,u_i.\]
\emph{Mais geralmente, $P_Sv$ é o único $s\in S$ com $v-s\perp S$.}
\begin{demonstracao}
Ponha $s = \sum_i\langle v,u_i\rangle u_i\in S$. Para cada $j$,
$\langle v-s,u_j\rangle = \langle v,u_j\rangle-\langle v,u_j\rangle = 0$, logo $v-s\in S^\perp$
e $v = s+(v-s)$ é a decomposição de $v$. A unicidade é a da soma direta.
\end{demonstracao}
\end{cartao}