Operações elementares não alteram o conjunto solução
Operações elementares sobre \([\,A\mid b\,]\) não alteram o conjunto solução de \(AX=b\). Mais ainda: elas não alteram \(N(A)\) nem o espaço gerado pelas linhas de \(A\).
Demonstração
Cada operação é reversível — (I) por si mesma, (II) multiplicando por \(\lambda^{-1}\), (III) subtraindo o mesmo múltiplo. Logo basta ver que toda solução do sistema antigo é solução do novo, o que é imediato: cada equação nova é combinação linear das antigas. Aplicando o mesmo raciocínio à operação inversa, os dois conjuntos solução coincidem. O mesmo argumento com \(b=0\) dá \(N(A)\) inalterado, e o fato de que cada linha nova é combinação das antigas (e vice-versa) dá o espaço-linha inalterado.
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\begin{cartao}
Operações elementares sobre $[\,A\mid b\,]$ não
alteram o conjunto solução de $AX=b$. Mais ainda: elas não alteram $N(A)$ nem o espaço
gerado pelas linhas de $A$.
\begin{demonstracao}
Cada operação é \emph{reversível} --- (I) por si mesma, (II) multiplicando por
$\lambda^{-1}$, (III) subtraindo o mesmo múltiplo. Logo basta ver que toda solução do
sistema antigo é solução do novo, o que é imediato: cada equação nova é combinação linear
das antigas. Aplicando o mesmo raciocínio à operação inversa, os dois conjuntos solução
coincidem. O mesmo argumento com $b=0$ dá $N(A)$ inalterado, e o fato de que cada linha
nova é combinação das antigas (e vice-versa) dá o espaço-linha inalterado.
\end{demonstracao}
\end{cartao}