Sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações
Um sistema linear homogêneo com \(m\) equações e \(k>m\) incógnitas tem solução não trivial.
A demonstração é o escalonamento (Teorema 3.30) em miniatura.
Demonstração
Indução em \(m\). Considere o sistema \[a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ik}x_k = 0,\qquad i = 1,\ldots,m.\] Se todos os coeficientes \(a_{i1}\) de \(x_1\) são nulos, \(x = (1,0,\ldots,0)\) é solução não trivial. Senão, reordenando as equações, \(a_{11}\neq0\). Para \(i\geq2\), subtraia da equação \(i\) a primeira multiplicada por \(a_{i1}/a_{11}\): obtêm-se \(m-1\) equações em que \(x_1\) não aparece, nas \(k-1\) incógnitas \(x_2,\ldots,x_k\).
Se \(m = 1\), não sobra equação nenhuma: escolha \(x_2 = 1\), \(x_3 = \cdots = x_k = 0\) (há \(x_2\), porque \(k\geq2\)).
Se \(m\geq2\), como \(k-1>m-1\), a hipótese de indução dá \((x_2,\ldots,x_k)\neq0\) resolvendo as \(m-1\) equações novas.
Em ambos os casos, defina \(x_1 = -\frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2+\cdots+a_{1k}x_k)\), que resolve a primeira equação. As equações originais \(i\geq2\) são as novas somadas com um múltiplo da primeira, e portanto também se anulam. A solução \((x_1,\ldots,x_k)\) é não trivial porque \((x_2,\ldots,x_k)\neq0\).
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\begin{cartao}
Um sistema linear homogêneo com $m$ equações e $k>m$
incógnitas tem solução não trivial.
\noindent A demonstração é o escalonamento (\vejacard{thm-gauss}) em miniatura.
\begin{demonstracao}
Indução em $m$. Considere o sistema
\[a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ik}x_k = 0,\qquad i = 1,\ldots,m.\]
Se todos os coeficientes $a_{i1}$ de $x_1$ são nulos, $x = (1,0,\ldots,0)$ é solução não
trivial. Senão, reordenando as equações, $a_{11}\neq0$. Para $i\geq2$, subtraia da equação
$i$ a primeira multiplicada por $a_{i1}/a_{11}$: obtêm-se $m-1$ equações em que $x_1$ não
aparece, nas $k-1$ incógnitas $x_2,\ldots,x_k$.
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.15em,topsep=0.25em]
\item Se $m = 1$, não sobra equação nenhuma: escolha $x_2 = 1$, $x_3 = \cdots = x_k = 0$
(há $x_2$, porque $k\geq2$).
\item Se $m\geq2$, como $k-1>m-1$, a hipótese de indução dá $(x_2,\ldots,x_k)\neq0$
resolvendo as $m-1$ equações novas.
\end{itemize}
Em ambos os casos, defina $x_1 = -\frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2+\cdots+a_{1k}x_k)$, que resolve a
primeira equação. As equações originais $i\geq2$ são as novas somadas com um múltiplo da
primeira, e portanto também se anulam. A solução $(x_1,\ldots,x_k)$ é não trivial porque
$(x_2,\ldots,x_k)\neq0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}